Kugelsymmetrische Potentiale

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kugelsymmetrische Potentiale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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\begin{matrix} [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{1}] = [({\hat{r}}_{1} {\hat{p}}_{2} - {\hat{r}}_{2} {\hat{p}}_{1}), {\hat{r}}_{1}] = - {\hat{r}}_{2} [{\hat{p}}_{1}, {\hat{r}}_{1}] = i ℏ {\hat{r}}_{2} \\ [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{2}] = [({\hat{r}}_{1} {\hat{p}}_{2} - {\hat{r}}_{2} {\hat{p}}_{1}), {\hat{r}}_{2}] = {\hat{r}}_{1} [{\hat{p}}_{2}, {\hat{r}}_{2}] = - i ℏ {\hat{r}}_{1} \\ [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{3}] = [({\hat{r}}_{1} {\hat{p}}_{2} - {\hat{r}}_{2} {\hat{p}}_{1}), {\hat{r}}_{3}] = 0 \end{matrix}

Allgemein:

\begin{matrix} [{\hat{L}}_{j}, {\hat{r}}_{k}] = i ℏ {\hat{r}}_{l} \\ [{\hat{L}}_{j}, {\hat{r}}_{k}] = i ℏ ε_{j k l} {\hat{r}}_{l} \end{matrix}

mit j,k,l zyklisch

Analog:

[{\hat{L}}_{j}, {\hat{p}}_{k}] = i ℏ ε_{j k l} {\hat{p}}_{l}

\begin{matrix} [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{1}^{2}] = [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{1}] {\hat{r}}_{1} + {\hat{r}}_{1} [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{1}] = i ℏ {\hat{r}}_{2} {\hat{r}}_{1} + {\hat{r}}_{1} i ℏ {\hat{r}}_{2} = 2 i ℏ {\hat{r}}_{2} {\hat{r}}_{1} \\ [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{2}^{2}] = [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{2}] {\hat{r}}_{2} + {\hat{r}}_{2} [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{2}] = - i ℏ {\hat{r}}_{1} {\hat{r}}_{2} - {\hat{r}}_{2} i ℏ {\hat{r}}_{1} = - 2 i ℏ {\hat{r}}_{2} \hat{r} \\ [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{3}^{2}] = [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{3}] {\hat{r}}_{3} + {\hat{r}}_{3} [{\hat{L}}_{3}, {\hat{r}}_{3}] = 0 \end{matrix}

Damit folgt jedoch für die gesamten Vektoren:

[{\hat{L}}_{j}, {\hat{r}}^{2}] = [{\hat{L}}_{j}, {\hat{p}}^{2}] = 0

j=1,2,3

[{\hat{L}}_{j}, H] = 0

,

falls  $H = \hat{H} ({\hat{r}}^{2}, {\hat{p}}^{2})$

Also $\hat{H} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + V (r)$

mit Zentralpotenzial V(r)

Theorem

Für alle rotationssymmetrischen Hamiltonoperatoren gilt:

[{\hat{L}}_{j}, H] = 0

[{\hat{L}}^{2}, H] = 0

Und der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, also

\dot{\bar{L}} = 0

Analogie in der KLASSISCHEN Mechanik:

Im Zentralpotenzial ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße

Tieferer Grund: $\bar{L}$

ist die Erzeugende infinitesimaler Drehungen

Wegen $[{\hat{L}}^{2}, H] = \hat{L} [\hat{L}, H] + [\hat{L}, H] \hat{L} \Rightarrow [{\hat{L}}^{2}, H] = 0 \Rightarrow [{\hat{L}}_{j}, H] = 0$

Sei V(r) im Folgenden kugelsymmetrisch.

Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von $H$

und ${\hat{L}}_{j}$

für jedes j aber nicht zu $H$

und $\bar{L}$ .

(H läßt sich als L² darstellen (siehe im Folgenden!) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen!)

Wegen

[{\hat{L}}_{3}, H] = 0

[{\hat{L}}^{2}, H] = 0

[{\hat{L}}^{2}, {\hat{L}}_{3}] = 0

können wir gemeinsame Eigenzustände zu $H$ , ${\hat{L}}^{2}$

und ${\hat{L}}_{3}$

finden.

Zusammenhang zwischen ${\hat{L}}^{2}$

und $H = \frac{p^{2}}{2 m} + V$

\begin{matrix} {\hat{L}}^{2} = ε_{j k l} ε_{j m n} x_{k} p_{l} x_{m} p_{n} \\ ε_{j k l} ε_{j m n} = δ_{k m} δ_{\ln} - δ_{k n} δ_{l m} \\ {\hat{L}}^{2} = ε_{j k l} ε_{j m n} x_{k} p_{l} x_{m} p_{n} = (δ_{k m} δ_{\ln} - δ_{k n} δ_{l m}) x_{k} p_{l} x_{m} p_{n} \end{matrix}

Summationskonvention!!

Es folgt:

\begin{matrix} {\hat{L}}^{2} = ε_{j k l} ε_{j m n} x_{k} p_{l} x_{m} p_{n} = (δ_{k m} δ_{\ln} - δ_{k n} δ_{l m}) x_{k} p_{l} x_{m} p_{n} = \\ = x_{m} p_{n} x_{m} p_{n} - x_{n} p_{m} x_{m} p_{n} \\ p_{n} x_{m} = x_{m} p_{n} - i ℏ δ_{m n} \\ x_{n} p_{m} = p_{m} x_{n} + i ℏ δ_{m n} \\ \Rightarrow {\hat{L}}^{2} = x_{m} x_{m} p_{n} p_{n} - p_{m} x_{n} x_{m} p_{n} - 2 i ℏ x_{m} p_{m} \\ p_{m} x_{n} x_{m} p_{n} = p_{m} x_{m} x_{n} p_{n} \\ p_{m} x_{m} = x_{m} p_{m} - i ℏ δ_{m m} \\ δ_{m m} = 3 \\ \Rightarrow {\hat{L}}^{2} = x_{m} x_{m} p_{n} p_{n} - p_{m} x_{n} x_{m} p_{n} - 2 i ℏ x_{m} p_{m} = {x_{m}}^{2} {p_{n}}^{2} - x_{m} p_{m} x_{n} p_{n} + 3 i ℏ x_{n} p_{n} - 2 i ℏ x_{m} p_{m} \\ \Rightarrow {\hat{L}}^{2} = {x_{m}}^{2} {p_{n}}^{2} - (x_{m} p_{m}) (x_{n} p_{n}) + i ℏ x_{m} p_{m} \\ {\hat{L}}^{2} = r^{2} p^{2} - {(\bar{r} \cdot \bar{p})}^{2} + i ℏ (\bar{r} \cdot \bar{p}) \end{matrix}

Somit:

\frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} = \frac{1}{2 m r^{2}} [{(\hat{\bar{r}} \cdot \hat{\bar{p}})}^{2} - i ℏ (\hat{\bar{r}} \cdot \hat{\bar{p}}) + {\hat{L}}^{2}]

Klassisch:

\begin{matrix} \frac{p^{2}}{2 m} = \frac{1}{2 m r^{2}} [{(\bar{r} \cdot \bar{p})}^{2} + L^{2}] \\ m i t (\bar{r} \cdot \bar{p}) = r p_{r} \end{matrix}

Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten

\begin{matrix} x_{1} = r \sin ϑ \cos ϕ \\ x_{2} = r \sin ϑ \sin ϕ \\ x_{3} = r \cos ϑ \end{matrix}

Die Differenziale transformieren sich dabei folgendermaßen:

\frac{\partial}{\partial r} = \frac{\partial x_{j}}{\partial r} \partial_{j} = \frac{x_{j}}{r} \partial_{j}

Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt!

Somit:

\bar{r} \cdot \bar{p} = \frac{ℏ}{i} x_{j} \partial_{j} = \frac{ℏ}{i} r \frac{\partial}{\partial r}

wegen $\frac{\partial}{\partial r} = \frac{x_{j}}{r} \partial_{j}$

\begin{matrix} \hat{\bar{p}} = - i ℏ \nabla \\ {\hat{p}}_{r} - i ℏ \frac{\partial}{\partial r} \\ \hat{\bar{r}} \hat{\bar{p}} = \hat{r} {\hat{p}}_{r} = \frac{ℏ}{i} r \frac{\partial}{\partial r} \\ {\hat{L}}_{z} = \frac{i}{ℏ} \frac{\partial}{\partial ϕ} \end{matrix}

Operator der kinetischen Energie:

\begin{matrix} (\bar{r} \cdot \bar{p}) [(\bar{r} \cdot \bar{p}) + \frac{ℏ}{i}] Ψ (r, ϑ, ϕ) = - ℏ^{2} r \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial}{\partial r} + 1) Ψ (r, ϑ, ϕ) \\ = - ℏ^{2} r [\frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial Ψ}{\partial r}) + \frac{\partial Ψ}{\partial r}] = - ℏ^{2} r [(r \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial r^{2}}) + 2 \frac{\partial Ψ}{\partial r}] = - ℏ^{2} r \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r Ψ) \end{matrix}

Alternativ:

(\bar{r} \cdot \bar{p}) [(\bar{r} \cdot \bar{p}) + \frac{ℏ}{i}] Ψ (r, ϑ, ϕ) = = - ℏ^{2} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial Ψ}{\partial r})

Also: (Im quantenmechanischen Fall sei $\bar{r} = \hat{\bar{r}}, \bar{p} = \hat{\bar{p}}$

\frac{p^{2}}{2 m} Ψ (r, ϑ, ϕ) = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r Ψ) + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} Ψ

einen einfachen Ausdruck hätte man auch erhalten, indem man einfach Laplace, also $\frac{p^{2}}{2 m} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} Δ$

in Kugelkoordinaten schreibt

Es gilt für den Operator der kinetischen Energie

\hat{\bar{T}} = \frac{{\hat{\bar{p}}}^{2}}{2 m} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} Δ

Laplaceoperator in Kugelkoordinaten:

Δ Ψ = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial}{\partial r} Ψ) + \frac{1}{r^{2} \sin ϑ} \frac{\partial}{\partial ϑ} (\sin ϑ \frac{\partial}{\partial ϑ} Ψ) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} ϑ} \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} ϕ} Ψ

Schrödingergleichung für $Ψ (r, ϑ, ϕ)$

H Ψ (r, ϑ, ϕ) = \frac{p^{2}}{2 m} Ψ (r, ϑ, ϕ) + V (r) Ψ (r, ϑ, ϕ) = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r Ψ) + [\frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + V (r)] Ψ = E Ψ (r, ϑ, ϕ)

In Analogie zur klassischen Hamiltonfunktion identifiziert man

{\hat{p}}_{r} = \frac{ℏ}{i} (\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r})

als Radialimpuls- Operator

mit der Vertauschungsrelation:

[{\hat{p}}_{r}, \hat{r}] = \frac{ℏ}{i}

Es gilt:

\frac{p^{2}}{2 m} = \frac{{p_{r}}^{2}}{2 m} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}}

Nachrechnen!

Ortsdarstellung von L²:

L^{2} Ψ (r, ϑ, ϕ) = - ℏ^{2} {\frac{1}{\sin ϑ} \frac{\partial}{\partial ϑ} (\sin ϑ \frac{\partial Ψ (r, ϑ, ϕ)}{\partial ϑ}) + \frac{1}{\sin^{2} ϑ} \frac{\partial^{2} Ψ (r, ϑ, ϕ)}{\partial ϕ^{2}}}

Nebenbemerkung:

H erhält man auch direkt durch die Transformation von

\frac{- ℏ^{2}}{2 m} Δ Ψ + V Ψ = E Ψ

´ auf Kugelkoordinaten (Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken!)

Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:

Ψ (r, ϑ, ϕ) = R (r) Y (ϑ, ϕ)

mit $L^{2} Y (ϑ, ϕ) = ℏ^{2} l (l + 1) Y (ϑ, ϕ)$

Also:

\begin{matrix} - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Y}{r} \frac{d^{2}}{d r^{2}} (r R) + \frac{R}{2 m r^{2}} (L^{2} Y) + Y (V (r) - E) R = 0 \\ L^{2} Y = ℏ^{2} l (l + 1) Y \\ \Rightarrow - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Y}{r} \frac{d^{2}}{d r^{2}} (r R) + \frac{R}{2 m r^{2}} (ℏ^{2} l (l + 1) Y) + Y (V (r) - E) R = 0 \\ \Rightarrow - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d r^{2}} (r R) + (\frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 m r^{2}} + V (r) - E) (r R) = 0 \end{matrix}

(Laguerre Differenzialgleichung!)

Dabei wird $\frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 m r^{2}}$

analog zur klassischen Mechanik als Zentrifugalpotenzial bezeichnet

Im Endeffekt können wir von einer radialen Schrödingergelichung mit einem effektiven Potenzial sprechen:

V_{e f f .} = \frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 m r^{2}} + V (r)

Merke als Kurzform für Differenziale:

d^{2} (r R) = d (R + r d R) = 2 d R + r d^{2} R

für ein Differenzial entlang der Radiusvariable!

Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:

Sei $\begin{matrix} lim \\ r \to 0 \end{matrix} | V (r) | \leq \frac{M}{r^{α}}$

mit $α < 2$

Also: dominiere das Zentrifugalpotenzial gegenüber V für r→ 0,

so gilt:

Es existieren für ein anziehendes Potenzial $V (r)$ ,

also negatives Potenzial  wie im 1dimensionalen Fall grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für  $α < 2$

,

ansonsten nur endlich viele (Potenzialtopf!). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer mindestens EIN gebundener Zustand!

Dabei existiert eine Serie $E_{n l}$

n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n

Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet.

Also: es existieren endlich oder unendlich viele $E_{n l}$

zu jedem $l$

mit jeweils $2 l + 1$

facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren!

Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:

Jeweils vertauschbar sind:

L^{2}

mit $L_{j}, H$

und H mit $L^{2}, L_{j}$ .

Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu $H$ , $L^{2}, L_{3}$ .

Es ist möglich, einen Operator, z.B. den Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken

ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf!

Wir haben jedoch gesehen, dass

[{\hat{L}}_{j}, {\hat{L}}_{k}] = i ℏ ε_{j k l} {\hat{L}}_{l}

\Leftrightarrow \hat{L} \times \hat{L} = i ℏ \hat{L}

ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen (Kommutatoren) auf!

Wir haben als Leiteroperatoren:

\begin{matrix} {\hat{L}}_{+} := {\hat{L}}_{1} + i {\hat{L}}_{2} \\ {\hat{L}}_{-} := {\hat{L}}_{1} - i {\hat{L}}_{2} \end{matrix}

nicht hermitesch

mit ${\hat{L}}_{\pm} | l, m ⟩ \tilde{} | l, m \pm 1 ⟩$

nicht hermitesch. Es handelt sich also um Leiteroperatoren für die magnetische Quantenzahl.

\Rightarrow {\hat{L}}^{2} | l, m ⟩ = ℏ^{2} l (l + 1) | l, m ⟩

{\hat{L}}_{3} | l, m ⟩ = ℏ m | l, m ⟩

\begin{matrix} \Rightarrow l = 0, \frac{1}{2}, 1, ... \\ m = - l, - l + 1, ...., l \end{matrix}

ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren!

Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden.

Der Bahndrehimpulsoperator kann zusammengesetzt werden:

\hat{\bar{L}} = \hat{\bar{r}} \times \hat{\bar{p}}

Das Spektrum ist einzuschränken:

\begin{matrix} \Rightarrow l = 0, 1, 2... \\ m = - l, - l + 1, ...., l \end{matrix}

Schließlich kann eine Wellenfunktion in der Ortsdarstellung angegeben werden:

⟨ \hat{\bar{r}} | n l m ⟩ = Ψ_{n l m} = Ψ (r, ϑ, ϕ) = R_{n l} (r) {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)

als Separationsansatz.

Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu $H$ , $L^{2}, L_{3}$

kann man den Hamiltonian zusammenstellen:

\begin{matrix} H Ψ = (\frac{p^{2}}{2 m} + V (r)) Ψ = (\frac{(\bar{r} \cdot \bar{p}) [(\bar{r} \cdot \bar{p}) + \frac{ℏ}{i}]}{2 m r^{2}} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + V (r)) Ψ \\ = H Ψ = \frac{1}{2 m} [- \frac{ℏ^{2}}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r Ψ)] + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} Ψ + V (r) Ψ \\ - \frac{ℏ^{2}}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r Ψ) = {p_{r}}^{2} \end{matrix}

Dabei:

{p_{r}}^{2} \neq \frac{{(\bar{r} \cdot \bar{p})}^{2}}{r^{2}}

(klassisch)

Es ergibt sich die Schrödingergleichung:

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d r^{2}} (r R) + (\frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 m r^{2}} + V (r) - E) (r R) = 0

als radiale Schrödingergleichung mit dem Zentrifugalpotenzial $\frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 m r^{2}}$

und dem effektiven Potenzial $V_{e f f .} (r) = V (r) + \frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 m r^{2}}$

Der Separationsansatz liefert den Zustand als Produkt:

\begin{matrix} ⟨ \hat{\bar{r}} | n l m ⟩ = Ψ_{n l m} (\bar{r}) = Ψ (r, ϑ, ϕ) = R_{n l} (r) {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) = \frac{u_{n l} (r)}{r} {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) \\ R_{n l} (r) = \frac{u_{n l} (r)}{r} \end{matrix}

Aus der Normierbarkeit

\int_{}^{} d^{3} r {| Ψ_{n l m} |}^{2} = \int_{}^{} d Ω {| {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) |}^{2} \int_{0}^{\infty} r^{2} {| \frac{u_{n l} (r)}{r} |}^{2} = \int_{}^{} d Ω {| {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) |}^{2} \int_{0}^{\infty} {| u_{n l} (r) |}^{2} < \infty

folgt:

\begin{matrix} \begin{matrix} lim \\ r \to \infty \end{matrix} | u_{n l} (r) | \leq \frac{a}{r^{ε}} \\ m i t ε > \frac{1}{2} \end{matrix}

Asymptotisches Verhalten für $r \to \infty$

\begin{matrix} - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d r^{2}} u = E u \\ \Rightarrow u \tilde{} e^{- k r} \\ k := \frac{1}{ℏ} \sqrt{2 m (- E)} \end{matrix}

Verhalten für $r \to 0$

[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d r^{2}} + \frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 m r^{2}}] u = 0

Ansatz: $u (r) \tilde{} r^{s}$

\begin{matrix} - s (s - 1) + l (l + 1) = 0 \\ \Rightarrow s_{1} = l + 1; s_{2} = - l \end{matrix}

Jedoch ist $s_{2} = - l$ nicht zulässig, da $R (r) \tilde{} r^{- l - 1}$ singulär an der Stelle r=0 Es ist notwendig, dass $\begin{matrix} lim \\ r - > 0 \end{matrix} u (r) = 0$

Nebenbemerkung: Für l=0 ist die radiale Schrödingergleichung

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d r^{2}} u + (V (r) - E) u = 0

mit $u (0) = 0$ äquivalent zur eindimensionalen Schrödingergleichung mit

\begin{matrix} V_{1} (x) = V (x) f \ddot{u} r x > 0 \\ V_{1} (x) = \infty x \leq 0 \end{matrix}

Vergleiche: Harmonischer Oszi! Symmetrische Fortsetzung des Potenzials $V_{s}$

Nur die antisymmetrischen Eigenzustände von $V_{s}$ sind auch Eigenzustände von $V_{1}$

Fazit: Der Grundzustand von $V_{1}$ entspricht dem ersten angeregten Zustand von $V_{s}$ (radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung). Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand! Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände.

Kugelsymmetrische Potentiale

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