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Display information for equation id:math.1677.79 on revision:1677

* Page found: Kugelsymmetrische Potentiale (eq math.1677.79)

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TeX (original user input): 

\begin{align}

& H\Psi =\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(r) \right)\Psi =\left( \frac{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]}{2m{{r}^{2}}}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r) \right)\Psi  \\

& =H\Psi =\frac{1}{2m}\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi  \right) \right]+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\Psi +V(r)\Psi  \\

& -\frac{{{\hbar }^{2}}}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi  \right)={{p}_{r}}^{2} \\

\end{align}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (47.332 KB / 4.969 KB) :

H ⁢ Ψ = ( p 2 2 ⁢ m + V ⁢ ( r ) ) ⁢ Ψ = ( ( r ¯ ⋅ p ¯ ) ⁢ [ ( r ¯ ⋅ p ¯ ) + ℏ i ] 2 ⁢ m ⁢ r 2 + L 2 2 ⁢ m ⁢ r 2 + V ⁢ ( r ) ) ⁢ Ψ = H ⁢ Ψ = 1 2 ⁢ m ⁢ [ - ℏ 2 r ⁢ ∂ 2 ∂ ⁡ r 2 ⁢ ( r ⁢ Ψ ) ] + L 2 2 ⁢ m ⁢ r 2 ⁢ Ψ + V ⁢ ( r ) ⁢ Ψ - ℏ 2 r ⁢ ∂ 2 ∂ ⁡ r 2 ⁢ ( r ⁢ Ψ ) = p r 2 absent 𝐻 Ψ superscript 𝑝 2 2 𝑚 𝑉 𝑟 Ψ ⋅ ¯ 𝑟 ¯ 𝑝 delimited-[] ⋅ ¯ 𝑟 ¯ 𝑝 Planck-constant-over-2-pi 𝑖 2 𝑚 superscript 𝑟 2 superscript 𝐿 2 2 𝑚 superscript 𝑟 2 𝑉 𝑟 Ψ absent absent 𝐻 Ψ 1 2 𝑚 delimited-[] superscript Planck-constant-over-2-pi 2 𝑟 superscript 2 superscript 𝑟 2 𝑟 Ψ superscript 𝐿 2 2 𝑚 superscript 𝑟 2 Ψ 𝑉 𝑟 Ψ absent superscript Planck-constant-over-2-pi 2 𝑟 superscript 2 superscript 𝑟 2 𝑟 Ψ superscript subscript 𝑝 𝑟 2 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle H\Psi=\left(% \frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(r)\right)\Psi=\left(\frac{\left(\bar{r}\cdot\bar{p}% \right)\left[\left(\bar{r}\cdot\bar{p}\right)+\frac{\hbar}{i}\right]}{2m{{r}^{% 2}}}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)\right)\Psi\\ \par&\displaystyle=H\Psi=\frac{1}{2m}\left[-\frac{{{\hbar}^{2}}}{r}\frac{{{% \partial}^{2}}}{\partial{{r}^{2}}}\left(r\Psi\right)\right]+\frac{{{L}^{2}}}{2% m{{r}^{2}}}\Psi+V(r)\Psi\\ \par&\displaystyle-\frac{{{\hbar}^{2}}}{r}\frac{{{\partial}^{2}}}{\partial{{r}% ^{2}}}\left(r\Psi\right)={{p}_{r}}^{2}\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle H\Psi=\left(%&#10;\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(r)\right)\Psi=\left(\frac{\left(\bar{r}\cdot\bar{p}%&#10;\right)\left[\left(\bar{r}\cdot\bar{p}\right)+\frac{\hbar}{i}\right]}{2m{{r}^{%&#10;2}}}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)\right)\Psi\\&#10;\par&amp;\displaystyle=H\Psi=\frac{1}{2m}\left[-\frac{{{\hbar}^{2}}}{r}\frac{{{%&#10;\partial}^{2}}}{\partial{{r}^{2}}}\left(r\Psi\right)\right]+\frac{{{L}^{2}}}{2%&#10;m{{r}^{2}}}\Psi+V(r)\Psi\\&#10;\par&amp;\displaystyle-\frac{{{\hbar}^{2}}}{r}\frac{{{\partial}^{2}}}{\partial{{r}%&#10;^{2}}}\left(r\Psi\right)={{p}_{r}}^{2}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">H</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">Ψ</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1.cmml">p</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.2.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.3.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2.cmml">m</mi>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">+</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">V</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.1.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">r</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">Ψ</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.16.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.16.2.cmml">(</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.16.2.cmml">
                            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.2.cmml">r</mi>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.1.cmml">¯</mo>
                            </mover>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.cmml">⋅</mo>
                            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.4.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.4.2.cmml">p</mi>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.4.1.cmml">¯</mo>
                            </mover>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.16.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.15.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.1.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.1.1.cmml">[</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.2.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.2.1.2.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.2.1.2.cmml">(</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.2.1.2.cmml">
                                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.8.cmml">
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.8.2.cmml">r</mi>
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.8.1.cmml">¯</mo>
                                </mover>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.9.cmml">⋅</mo>
                                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.10.cmml">
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.10.2.cmml">p</mi>
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.10.1.cmml">¯</mo>
                                </mover>
                              </mrow>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.2.1.2.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.12.cmml">+</mo>
                            <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.13.cmml">
                              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.13.2.cmml">ℏ</mi>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.13.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.13.3.cmml">i</mi>
                            </mfrac>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.17.1.1.cmml">]</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.2.cmml">m</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5.cmml">⁢</mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.6.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.3.cmml">r</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.4.1.cmml">2</mn>
                        </msup>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">+</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1.cmml">L</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.5.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.2.cmml">m</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.5.cmml">⁢</mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.6.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.3.cmml">r</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.4.1.cmml">2</mn>
                        </msup>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">+</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">V</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">r</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">Ψ</mi>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">H</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">Ψ</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml">1</mn>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1.cmml">2</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2.cmml">m</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.1.1.cmml">[</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.cmml">
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.cmml">
                            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.1.cmml">ℏ</mi>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.2.1.cmml">2</mn>
                          </msup>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.cmml">r</mi>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml">∂</mo>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.cmml">2</mn>
                          </msup>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1.cmml">∂</mo>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml">⁡</mo>
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.4.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2.cmml">r</mi>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3.1.cmml">2</mn>
                            </msup>
                          </mrow>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">r</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">Ψ</mi>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.1.1.cmml">]</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.cmml">L</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.1.cmml">2</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.5.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2.cmml">m</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.5a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.5.cmml">⁢</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.6.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.cmml">r</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.4.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">Ψ</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">V</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.1.cmml">⁢</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml">Ψ</mi>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1.cmml">ℏ</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml">r</mi>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.2.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.cmml">⁡</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.2.cmml">r</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.3.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2.2.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">Ψ</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">=</mo>
            <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">p</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml">r</mi>
              <none id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml"/>
              <none id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml"/>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">2</mn>
            </mmultiscripts>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
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                  </apply>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">Ψ</ci>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.1">¯</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.2">𝑟</ci>
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                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.2.1">2</cn>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3">𝑟</ci>
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                              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.4">superscript</csymbol>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2">𝑟</ci>
                              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3.1">2</cn>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">Ψ</ci>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2.1">2</cn>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.4">
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">𝑝</ci>
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              </apply>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1">2</cn>
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\right)\left[\left(\bar{r}\cdot\bar{p}\right)+\frac{\hbar}{i}\right]}{2m{{r}^{%
2}}}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)\right)\Psi\\
\par&amp;\displaystyle=H\Psi=\frac{1}{2m}\left[-\frac{{{\hbar}^{2}}}{r}\frac{{{%
\partial}^{2}}}{\partial{{r}^{2}}}\left(r\Psi\right)\right]+\frac{{{L}^{2}}}{2%
m{{r}^{2}}}\Psi+V(r)\Psi\\
\par&amp;\displaystyle-\frac{{{\hbar}^{2}}}{r}\frac{{{\partial}^{2}}}{\partial{{r}%
^{2}}}\left(r\Psi\right)={{p}_{r}}^{2}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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HΨ=(p22m+V(r))Ψ=((r¯⋅p¯)[(r¯⋅p¯)+ℏi]2mr2+L22mr2+V(r))Ψ=HΨ=12m[−ℏ2r∂2∂r2(rΨ)]+L22mr2Ψ+V(r)Ψ−ℏ2r∂2∂r2(rΨ)=pr2
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