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Display information for equation id:math.1900.8 on revision:1900

* Page found: Eichtransformation der Lagrangefunktion (eq math.1900.8)

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Hash: c21f85981b9589556355860bd54b2d53

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\begin{align}
  & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{k}}+e{{A}_{k}} \\
 & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{q}(t),t) \\
 & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\sum\limits_{l}{\frac{\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \\
 & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}} \right) \\
\end{align}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (53.827 KB / 5.251 KB) :

∂ ⁡ L ∂ ⁡ q ˙ k = m ⁢ q ˙ k + e ⁢ A k d d ⁢ t ⁢ ∂ ⁡ L ∂ ⁡ q ˙ k = m ⁢ q ¨ k + e ⁢ d d ⁢ t ⁢ A k ⁢ ( q ¯ ⁢ ( t ) , t ) d d ⁢ t ⁢ ∂ ⁡ L ∂ ⁡ q ˙ k = m ⁢ q ¨ k + e ⁢ ( ∂ ∂ ⁡ t ⁢ A k + ∑ l ∂ ⁡ A k ∂ ⁡ q l ⁢ q ˙ l ) d d ⁢ t ⁢ ∂ ⁡ L ∂ ⁡ q ˙ k = m ⁢ q ¨ k + e ⁢ ( ∂ ∂ ⁡ t ⁢ A k + ( q ¯ ˙ ⋅ ∇ ) ⁢ A k ) missing-subexpression 𝐿 subscript ˙ 𝑞 𝑘 𝑚 subscript ˙ 𝑞 𝑘 𝑒 subscript 𝐴 𝑘 missing-subexpression 𝑑 𝑑 𝑡 𝐿 subscript ˙ 𝑞 𝑘 𝑚 subscript ¨ 𝑞 𝑘 𝑒 𝑑 𝑑 𝑡 subscript 𝐴 𝑘 ¯ 𝑞 𝑡 𝑡 missing-subexpression 𝑑 𝑑 𝑡 𝐿 subscript ˙ 𝑞 𝑘 𝑚 subscript ¨ 𝑞 𝑘 𝑒 𝑡 subscript 𝐴 𝑘 subscript 𝑙 subscript 𝐴 𝑘 subscript 𝑞 𝑙 subscript ˙ 𝑞 𝑙 missing-subexpression 𝑑 𝑑 𝑡 𝐿 subscript ˙ 𝑞 𝑘 𝑚 subscript ¨ 𝑞 𝑘 𝑒 𝑡 subscript 𝐴 𝑘 ⋅ ˙ ¯ 𝑞 ∇ subscript 𝐴 𝑘 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\frac{\partial L}{% \partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\ &\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{% \ddot{q}}}_{k}}+e\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{q}(t),t)\\ &\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{% \ddot{q}}}_{k}}+e\left(\frac{\partial}{\partial t}{{A}_{k}}+\sum\limits_{l}{% \frac{\partial{{A}_{k}}}{\partial{{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}}\right)\\ &\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{% \ddot{q}}}_{k}}+e\left(\frac{\partial}{\partial t}{{A}_{k}}+\left(\dot{\bar{q}% }\cdot\nabla\right){{A}_{k}}\right)\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\frac{\partial L}{%&#10;\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\&#10;&amp;\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{%&#10;\ddot{q}}}_{k}}+e\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{q}(t),t)\\&#10;&amp;\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{%&#10;\ddot{q}}}_{k}}+e\left(\frac{\partial}{\partial t}{{A}_{k}}+\sum\limits_{l}{%&#10;\frac{\partial{{A}_{k}}}{\partial{{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{%&#10;\ddot{q}}}_{k}}+e\left(\frac{\partial}{\partial t}{{A}_{k}}+\left(\dot{\bar{q}%&#10;}\cdot\nabla\right){{A}_{k}}\right)\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">L</mi>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">⁡</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.4.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">q</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo>
                    </mover>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">k</mi>
                  </msub>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">m</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.2.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">q</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">˙</mo>
                  </mover>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">k</mi>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">e</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">A</mi>
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                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
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                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">⁡</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.4.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.2.cmml">q</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.1.cmml">˙</mo>
                      </mover>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.1.cmml">k</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">=</mo>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1.cmml">
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                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml">q</mi>
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                  </mover>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">k</mi>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">+</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">d</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1.cmml">d</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2.cmml">t</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">A</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">k</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.cmml">q</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">t</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.1.cmml">,</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">t</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.3.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.cmml">d</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml">d</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml">t</mi>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2.cmml">L</mi>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml">⁡</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.4.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.2.cmml">q</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.1.cmml">˙</mo>
                      </mover>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.3.1.cmml">k</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">=</mo>
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                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.2.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.cmml">q</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.cmml">¨</mo>
                  </mover>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml">k</mi>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">+</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">e</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.1.cmml">⁢</mo>
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                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">
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                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.2.cmml">t</mi>
                          </mrow>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
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                      <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.1.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">A</mi>
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                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">+</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2.cmml">
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2.1.cmml">
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                          <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">∑</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.cmml">l</mi>
                        </munder>
                      </mstyle>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2.2.cmml">
                        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1.cmml">∂</mo>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.cmml">⁡</mo>
                              <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.4.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.cmml">A</mi>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.3.1.cmml">k</mi>
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                                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.cmml">q</mi>
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                              </msub>
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                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.cmml">q</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml">˙</mo>
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                      </mover>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.3.1.cmml">k</mi>
                    </msub>
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                              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.1.2.cmml">q</mi>
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                        </mrow>
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                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.2">𝑞</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.3.1">𝑘</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.2">subscript</csymbol>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1">𝑘</ci>
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                      <sum id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1">𝑙</ci>
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                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.4">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2">𝐴</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.3.1">𝑘</ci>
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                            <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2">𝑞</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.3.1">𝑙</ci>
                          </apply>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17">
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1">˙</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2">𝑞</ci>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1">𝑙</ci>
                      </apply>
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            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1l.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22">
              <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.2">𝑑</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.3.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.3.1">𝑑</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.3.2">𝑡</ci>
                </apply>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11">𝐴</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1">𝑘</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\frac{\partial L}{%
\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\
&amp;\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{%
\ddot{q}}}_{k}}+e\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{q}(t),t)\\
&amp;\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{%
\ddot{q}}}_{k}}+e\left(\frac{\partial}{\partial t}{{A}_{k}}+\sum\limits_{l}{%
\frac{\partial{{A}_{k}}}{\partial{{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}}\right)\\
&amp;\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{%
\ddot{q}}}_{k}}+e\left(\frac{\partial}{\partial t}{{A}_{k}}+\left(\dot{\bar{q}%
}\cdot\nabla\right){{A}_{k}}\right)\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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∂ L ∂ q ˙ k = m q ˙ k + e A k d d t ∂ L ∂ q ˙ k = m q ¨ k + e d d t A k ( q ¯ ( t ) , t ) d d t ∂ L ∂ q ˙ k = m q ¨ k + e ( ∂ ∂ t A k + ∑ l ∂ A k ∂ q l q ˙ l ) d d t ∂ L ∂ q ˙ k = m q ¨ k + e ( ∂ ∂ t A k + ( q ¯ ˙ ⋅ ∇ ) A k ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e{\frac {d}{dt}}{{A}_{k}}({\bar {q}}(t),t)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\sum \limits _{l}{{\frac {\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}}\right)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)\\\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\&amp;{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e{\frac {d}{dt}}{{A}_{k}}({\bar {q}}(t),t)\\&amp;{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\sum \limits _{l}{{\frac {\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}}\right)\\&amp;{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)\\\end{aligned}}}">
  <semantics>
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      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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                              </mover>
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                  <mfrac>
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                      <mi>L</mi>
                    </mrow>
                    <mrow>
                      <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <msub>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                            </mrow>
                          </mrow>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                          </mrow>
                        </msub>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
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                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </mover>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                    </mrow>
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                <mi>e</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
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                    <mrow>
                      <mi>d</mi>
                      <mi>t</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msub>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>A</mi>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>k</mi>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo stretchy="false">(</mo>
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                </mrow>
                <mo stretchy="false">(</mo>
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                <mo>,</mo>
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              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd />
              <mtd>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
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                    <mrow>
                      <mi>d</mi>
                      <mi>t</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
                    <mrow>
                      <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
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                    </mrow>
                    <mrow>
                      <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                            </mrow>
                          </mrow>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                          </mrow>
                        </msub>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
                <mi>m</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msub>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mover>
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                        </mover>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>k</mi>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo>+</mo>
                <mi>e</mi>
                <mrow>
                  <mo>(</mo>
                  <mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mfrac>
                        <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                        <mrow>
                          <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                          <mi>t</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <msub>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mi>A</mi>
                        </mrow>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mi>k</mi>
                        </mrow>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo>+</mo>
                    <munder>
                      <mo movablelimits="false">&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mi>l</mi>
                      </mrow>
                    </munder>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mfrac>
                          <mrow>
                            <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                              <msub>
                                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                  <mi>A</mi>
                                </mrow>
                                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                  <mi>k</mi>
                                </mrow>
                              </msub>
                            </mrow>
                          </mrow>
                          <mrow>
                            <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                              <msub>
                                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                  <mi>q</mi>
                                </mrow>
                                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                                </mrow>
                              </msub>
                            </mrow>
                          </mrow>
                        </mfrac>
                      </mrow>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                            </mrow>
                          </mrow>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </msub>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo>)</mo>
                </mrow>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd />
              <mtd>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
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                    <mrow>
                      <mi>d</mi>
                      <mi>t</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
                    <mrow>
                      <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                      <mi>L</mi>
                    </mrow>
                    <mrow>
                      <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <msub>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                            </mrow>
                          </mrow>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
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                        </mover>
                      </mrow>
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                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>k</mi>
                    </mrow>
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                </mrow>
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                        </mrow>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\&amp;{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e{\frac {d}{dt}}{{A}_{k}}({\bar {q}}(t),t)\\&amp;{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\sum \limits _{l}{{\frac {\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}}\right)\\&amp;{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)\\\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (21.419 KB / 5.939 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e{\frac {d}{dt}}{{A}_{k}}({\bar {q}}(t),t)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\sum \limits _{l}{{\frac {\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}}\right)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)\\\end{aligned}}}

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