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\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=e\left[ \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi  \right]

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∂ ⁡ L ∂ ⁡ q k = e ⁢ [ ∂ ∂ ⁡ q k ⁢ ( q ¯ ˙ ⋅ A ¯ ) - ∂ ∂ ⁡ q k ⁢ Φ ] 𝐿 subscript 𝑞 𝑘 𝑒 delimited-[] subscript 𝑞 𝑘 ⋅ ˙ ¯ 𝑞 ¯ 𝐴 subscript 𝑞 𝑘 Φ {\displaystyle{\displaystyle\frac{\partial L}{\partial{{q}_{k}}}=e\left[\frac{% \partial}{\partial{{q}_{k}}}\left(\dot{\bar{q}}\cdot\bar{A}\right)-\frac{% \partial}{\partial{{q}_{k}}}\Phi\right]}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\frac{\partial L}{\partial{{q}_{k}}}=e\left[\frac{%&#10;\partial}{\partial{{q}_{k}}}\left(\dot{\bar{q}}\cdot\bar{A}\right)-\frac{%&#10;\partial}{\partial{{q}_{k}}}\Phi\right]}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">∂</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">⁡</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">⁡</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.4.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">q</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">k</mi>
            </msub>
          </mrow>
        </mfrac>
      </mstyle>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">e</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.1.cmml">[</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
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                    <msub id="p1.1.m1.1.5.3.4" xref="p1.1.m1.1.5.3.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.cmml">q</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.5.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.3.1.cmml">k</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mfrac>
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                <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.2.2.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.7.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.2.cmml">q</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                    <mo id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">˙</mo>
                  </mover>
                  <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">⋅</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">A</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">¯</mo>
                  </mover>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">-</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.cmml">∂</mo>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.12.3.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml">q</mi>
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            </mrow>
          </mrow>
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\partial}{\partial{{q}_{k}}}\Phi\right]}}</annotation>
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</math>

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∂L∂qk=e[∂∂qk(q¯˙⋅A¯)−∂∂qkΦ]
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>L</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><msub><mi>q</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><msub><mi>q</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>q</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow><mo>&#x22C5;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><msub><mi>q</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">&#x03A6;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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