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Forminvarianz der Lagrangegleichungen Eq: math.1909.10

Forminvarianz der Lagrangegleichungen Eq: math.1909.6

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TeX (original user input):

\begin{align}
  & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
 & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
\end{align}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (15.229 KB / 2.001 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle{{f}_{k}}({{Q}_{i}},% t)={{q}_{k}}\\ &\displaystyle\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial{{f}_{k}}}{\partial{{Q}_{i}}}{{% {\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial{{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}}\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle{{f}_{k}}({{Q}_{i}},%&#10;t)={{q}_{k}}\\&#10;&amp;\displaystyle\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial{{f}_{k}}}{\partial{{Q}_{i}}}{{%&#10;{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial{{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">f</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">k</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml">⁢</mo>
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                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">Q</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1.cmml">,</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">t</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">=</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">q</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml">k</mi>
            </msub>
          </mrow>
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                  <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1.cmml">
                    <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">∑</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">i</mi>
                  </munder>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml">∂</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">⁡</mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">f</mi>
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                        </msub>
                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">∂</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml">⁡</mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.4.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">Q</mi>
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                        </msub>
                      </mrow>
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                  <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">˙</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2.cmml">f</mi>
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                    </msub>
                  </mrow>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2.cmml">t</mi>
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              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">q</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">k</mi>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">
              <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑓</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1">𝑘</ci>
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              </interval>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">
              <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1">𝑖</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2">
                      <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2">𝑓</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.1">𝑘</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3">
                      <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.4">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.4">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2">𝑄</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.3.1">𝑖</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.2">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">˙</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2">𝑄</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1">𝑖</ci>
                  </apply>
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              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2">𝑓</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.3.1">𝑘</ci>
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                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2">𝑡</ci>
                </apply>
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            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
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              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">˙</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2">𝑞</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">𝑘</ci>
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        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle{{f}_{k}}({{Q}_{i}},%
t)={{q}_{k}}\\
&amp;\displaystyle\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial{{f}_{k}}}{\partial{{Q}_{i}}}{{%
{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial{{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}}\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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\begin{aligned} f_{k} (Q_{i}, t) = q_{k} \\ \sum_{i} \frac{\partial f_{k}}{\partial Q_{i}} {\dot{Q}}_{i} + \frac{\partial f_{k}}{\partial t} = {\dot{q}}_{k} \end{aligned}

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