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* Page found: Der Satz von Liouville (eq math.1970.15)

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\Rightarrow {{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left( 1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}} \right)\cong {{V}_{t0}}

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MathML (19.304 KB / 2.638 KB) :

⇒ V t = ∫ U t 0 d 2 ⁢ f ⁢ x 0 ⁢ det ⁡ ( D ⁢ Φ t , t 0 ⁢ ( x ¯ 0 ) ) = ∫ U t 0 d 2 ⁢ f ⁢ x 0 ⁢ ( 1 + O ⁢ ( t - t 0 ) 2 ) ≅ V t ⁢ 0 ⇒ absent subscript 𝑉 𝑡 subscript subscript 𝑈 subscript 𝑡 0 superscript 𝑑 2 𝑓 subscript 𝑥 0 𝐷 subscript Φ 𝑡 subscript 𝑡 0 subscript ¯ 𝑥 0 subscript subscript 𝑈 subscript 𝑡 0 superscript 𝑑 2 𝑓 subscript 𝑥 0 1 𝑂 superscript 𝑡 subscript 𝑡 0 2 subscript 𝑉 𝑡 0 {\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}% }}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})% \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left(1+O{{(t-{{t}% _{0}})}^{2}}\right)\cong{{V}_{t0}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}%&#10;}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})%&#10;\right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left(1+O{{(t-{{t}%&#10;_{0}})}^{2}}\right)\cong{{V}_{t0}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.43.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.43.2" xref="p1.1.m1.1.43.2.cmml"/>
      <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">⇒</mo>
      <msub id="p1.1.m1.1.43.3" xref="p1.1.m1.1.43.3.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">V</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">t</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.43.4" xref="p1.1.m1.1.43.4.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.43.4.1" xref="p1.1.m1.1.43.4.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.43.4.1a" xref="p1.1.m1.1.43.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">∫</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml">U</mi>
              <msub id="p1.1.m1.1.6.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.1.cmml">t</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.2.1.cmml">0</mn>
              </msub>
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          </munder>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.43.4.2" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.43.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">d</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml">f</mi>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.43.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.43.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">x</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">0</mn>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.43.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.43.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">det</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.43.4.2.4a" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.cmml">⁡</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">D</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.2.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">Φ</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml">t</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.5.cmml">,</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.15.1.6" xref="p1.1.m1.1.15.1.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.15.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.cmml">t</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.15.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.4.1.cmml">0</mn>
                    </msub>
                  </mrow>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.3.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.3.2.cmml">(</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.3.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">x</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                    <mn id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">0</mn>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.3.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
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            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.43.5.1" xref="p1.1.m1.1.43.5.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.43.5.1a" xref="p1.1.m1.1.43.5.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">∫</mo>
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        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.43.5.2" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.43.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">d</mi>
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              <mn id="p1.1.m1.1.25.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.25.1.3" xref="p1.1.m1.1.25.1.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.25.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml">f</mi>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.43.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.43.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">x</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">0</mn>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.43.5.2.1a" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.cmml">
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              <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">O</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">-</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.2.2.2.1.cmml">
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                </msup>
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            </mrow>
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          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
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        <mi id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">V</mi>
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          <mo id="p1.1.m1.1.42.1.3" xref="p1.1.m1.1.42.1.3.cmml">⁢</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.42.1.2" xref="p1.1.m1.1.42.1.2.cmml">0</mn>
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            <ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">𝑉</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">𝑡</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.1">𝑈</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑑</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2">𝑓</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝑥</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝐷</ci>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">Φ</ci>
                    <list id="p1.1.m1.1.15.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">
                      <ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1">𝑡</ci>
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                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.6">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.15.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3">𝑡</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.4.1">0</cn>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2">𝑥</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝑑</ci>
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                  <times id="p1.1.m1.1.25.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.3"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.25.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2">𝑓</ci>
                </apply>
              </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.43.5.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.3">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝑥</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.1">0</cn>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.31">𝑂</ci>
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_{0}})}^{2}}\right)\cong{{V}_{t0}}}}</annotation>
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⇒Vt=∫Ut0d2fx0det⁡(DΦt,t0(x¯0))=∫Ut0d2fx0(1+O(t−t0)2)≅Vt0
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