Der Satz von Liouville

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der Satz von Liouville basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Lösung der Differenzialgleichung

\dot{\bar{x}} := A \bar{x} = J {\bar{H}}_{, x}

\bar{x} (t, t_{0}, {\bar{x}}_{0}) = : {\bar{Φ}}_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0})

Definition: Fluß im Phasenraum

to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.

Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:

\begin{matrix} {\bar{Φ}}_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0}) : Γ \to Γ \\ {\bar{x}}_{0} (t_{0}) \to \bar{x} (t) \end{matrix}

Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

\begin{matrix} (q, p) \in Γ \\ \dot{q} = p \\ \dot{p} = - {ω_{0}}^{2} q \\ \dot{\bar{x}} = A \bar{x} \\ A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - {ω_{0}}^{2} & 0 \end{matrix}) \end{matrix}

Die Lösung lautet:

\bar{x} (t) = {\bar{Φ}}_{t - t_{0}} ({\bar{x}}_{0}) = \exp [(t - t_{0}) A] {\bar{x}}_{0}

Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.

Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:

\begin{matrix} \bar{x} (t) = \sum_{n} \frac{{[(t - t_{0}) A]}^{n}}{n!} {\bar{x}}_{0} = [1 \cos ω_{0} (t - t_{0}) + \frac{A}{ω_{0}} \sin ω_{0} (t - t_{0})] {\bar{x}}_{0} \\ = (\begin{matrix} \cos ω_{0} (t - t_{0}) & \frac{1}{ω_{0}} \sin ω_{0} (t - t_{0}) \\ - ω_{0} \sin ω_{0} (t - t_{0}) & \cos ω_{0} (t - t_{0}) \end{matrix}) {\bar{x}}_{0} \end{matrix}

Beweis:

\begin{matrix} A^{2} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - {ω_{0}}^{2} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - {ω_{0}}^{2} & 0 \end{matrix}) = - {ω_{0}}^{2} 1 \\ A^{2 n} = {(- 1)}^{2 n} {ω_{0}}^{2 n} 1 \\ A^{2 n + 1} = {(- 1)}^{n} {ω_{0}}^{2 n + 1} \frac{1}{ω_{0}} A \end{matrix}

Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.

Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:

Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:

Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten (auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.

Beweis (integrale Form):

Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:

V_{t o} = \int_{U_{t o}}^{} d^{2 f} x_{0}

Bei t:

V_{t} = \int_{U_{t}}^{} d^{2 f} x_{0} = \int_{U_{t_{0}}}^{} d^{2 f} x_{0} det (\frac{\partial x}{\partial x_{0}}) = \int_{U_{t_{0}}}^{} d^{2 f} x_{0} det (D Φ_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0}))

Mit der Jacobi- Matrix:

{(D Φ_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0}))}_{i k} := \frac{\partial {Φ^{i}}_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0})}{\partial {x_{0}}^{k}} = \frac{\partial x^{i}}{\partial {x_{0}}^{k}}

Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:

\begin{matrix} Φ_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0}) = {\bar{x}}_{0} + \bar{F} ({\bar{x}}_{0}, t) (t - t_{0}) + O ({(t - t_{0})}^{2}) \\ \bar{F} ({\bar{x}}_{0}, t) = J {\bar{H}}_{, x} = (\begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial p} \\ - \frac{\partial H}{\partial q} \end{matrix}) \end{matrix}

Somit folgt:

\frac{\partial {Φ^{i}}_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0})}{\partial {x_{0}}^{k}} = δ_{i k} + \frac{\partial {\bar{F}}^{i} ({\bar{x}}_{0}, t)}{\partial {x_{0}}^{k}} (t - t_{0}) + O ({(t - t_{0})}^{2})

Mit Hilfe

det (1 + B ε) = 1 + ε t r (B) + O (ε^{2})

folgt:

\begin{matrix} det (D Φ_{t, t_{0}}) = | \frac{\partial {Φ^{i}}_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0})}{\partial {x_{0}}^{k}} | = 1 + (t - t_{0}) \sum_{i = 1}^{2 f} \frac{\partial {\bar{F}}^{i} ({\bar{x}}_{0}, t)}{\partial {x_{0}}^{i}} (t - t_{0}) + O ({(t - t_{0})}^{2}) \\ \sum_{i = 1}^{2 f} \frac{\partial {\bar{F}}^{i} ({\bar{x}}_{0}, t)}{\partial {x_{0}}^{i}} = d i v \bar{F} = \frac{\partial}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} = 0 \end{matrix}

Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:

det (D Φ_{t, t_{0}}) = | \frac{\partial {Φ^{i}}_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0})}{\partial {x_{0}}^{k}} | = 1 + O ({(t - t_{0})}^{2}) ≅ 1

\Rightarrow V_{t} = \int_{U_{t_{0}}}^{} d^{2 f} x_{0} det (D Φ_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0})) = \int_{U_{t_{0}}}^{} d^{2 f} x_{0} (1 + O {(t - t_{0})}^{2}) ≅ V_{t 0}

Nebenbemerkung:

Der Satz von Liouville kann auch in der LOKALEN Form formuliert werden:

Für den Fluß

Φ_{t, t_{0}}

zu

\dot{\bar{x}} := J {\bar{H}}_{, x}

ist

D Φ_{t, t_{0}}

eine symplektische Matrix, das heißt

det (D Φ_{t, t_{0}}) = 1

.

Das bedeutet, das Volumenelement

d x^{1} ... d x^{2 f}

im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:

d x^{1} ... d x^{2 f} = D e t (D Φ) d {x_{0}}^{1} .... d {x_{0}}^{2 f} = d {x_{0}}^{1} .... d {x_{0}}^{2 f}

Whoa, things just got a whole lot eiaser.

Der Satz von Liouville

Beweis (integrale Form):

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