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* Page found: Der Satz von Liouville (eq math.1970.8)

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{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( \frac{\partial x}{\partial {{x}_{0}}} \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)

TeX (checked): 

{{V}_{t}}=\int \limits _{{U}_{t}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {{x}_{0}}}}\right)=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (20.596 KB / 2.676 KB) :

V t = ∫ U t d 2 ⁢ f ⁢ x 0 = ∫ U t 0 d 2 ⁢ f ⁢ x 0 ⁢ det ⁡ ( ∂ ⁡ x ∂ ⁡ x 0 ) = ∫ U t 0 d 2 ⁢ f ⁢ x 0 ⁢ det ⁡ ( D ⁢ Φ t , t 0 ⁢ ( x ¯ 0 ) ) subscript 𝑉 𝑡 subscript subscript 𝑈 𝑡 superscript 𝑑 2 𝑓 subscript 𝑥 0 subscript subscript 𝑈 subscript 𝑡 0 superscript 𝑑 2 𝑓 subscript 𝑥 0 𝑥 subscript 𝑥 0 subscript subscript 𝑈 subscript 𝑡 0 superscript 𝑑 2 𝑓 subscript 𝑥 0 𝐷 subscript Φ 𝑡 subscript 𝑡 0 subscript ¯ 𝑥 0 {\displaystyle{\displaystyle{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{% 0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det\left(\frac{% \partial x}{\partial{{x}_{0}}}\right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f% }}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{%&#10;0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det\left(\frac{%&#10;\partial x}{\partial{{x}_{0}}}\right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f%&#10;}}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">V</mi>
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      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.38.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38.3.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.38.3.1a" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">U</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.5.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1.cmml">t</mi>
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          </munder>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.38.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">d</mi>
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              <mn id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml">f</mi>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.38.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">x</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">0</mn>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38.4.1" xref="p1.1.m1.1.38.4.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.38.4.1a" xref="p1.1.m1.1.38.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">∫</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
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                <mi id="p1.1.m1.1.12.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.1.1.cmml">t</mi>
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          </munder>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.38.4.2" xref="p1.1.m1.1.38.4.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.38.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.4.2.2.cmml">
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              <mn id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">f</mi>
            </mrow>
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          <mo id="p1.1.m1.1.38.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.38.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.38.4.2.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">x</mi>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.38.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.38.4.2.4.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">det</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.4.2.4a" xref="p1.1.m1.1.38.4.2.4.cmml">⁡</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.4.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">(</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.19a" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
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                  </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38.5.1" xref="p1.1.m1.1.38.5.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.38.5.1a" xref="p1.1.m1.1.38.5.1.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.23.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.1.cmml">U</mi>
              <msub id="p1.1.m1.1.23.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.23.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.1.1.cmml">t</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.23.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.1.2.1.cmml">0</mn>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.38.5.2" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.38.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">d</mi>
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              <mn id="p1.1.m1.1.25.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.25.1.3" xref="p1.1.m1.1.25.1.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.25.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml">f</mi>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.38.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.38.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">x</mi>
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          <mo id="p1.1.m1.1.38.5.2.1a" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">det</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.5.2.4a" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.cmml">⁡</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">D</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.2.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.32.1.1" xref="p1.1.m1.1.32.1.1.cmml">t</mi>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.32.1.6" xref="p1.1.m1.1.32.1.6.cmml">
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                      <mn id="p1.1.m1.1.32.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.32.1.4.1.cmml">0</mn>
                    </msub>
                  </mrow>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.3.2.cmml">(</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.3.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml">x</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.34.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
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                <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1">𝑈</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.2">𝑓</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">𝑥</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">𝑈</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝑥</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">𝐷</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.34.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.34.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2">𝑥</ci>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.1">0</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{%
0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det\left(\frac{%
\partial x}{\partial{{x}_{0}}}\right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f%
}}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})\right)}}</annotation>
  </semantics>
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Vt=∫Utd2fx0=∫Ut0d2fx0det⁡(∂x∂x0)=∫Ut0d2fx0det⁡(DΦt,t0(x¯0))
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Identifiers

  • Vt
  • Ut
  • f
  • x0
  • Ut0
  • f
  • x0
  • x
  • x0
  • Ut0
  • f
  • x0
  • D
  • Φt,t0
  • x¯0

MathML observations

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