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* Page found: Drehimpuls und Bewegungsgleichungen (eq math.2005.15)

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Drehimpuls und Bewegungsgleichungen Eq: math.2005.15

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TeX (original user input):

\frac{d}{dt}\bar{l}=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \right)=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}} \right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}\times {{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+\frac{d}{dt}\bar{L}

TeX (checked):

{\frac {d}{dt}}{\bar {l}}={\frac {d}{dt}}\left({{\bar {r}}_{s}}\times M{\bar {V}}+\int _{}^{}{{{d}^{3}}x\rho ({\bar {x}}){\bar {x}}}\times \left({\bar {\omega }}\times {\bar {x}}\right)\right)={\frac {d}{dt}}\left({{\bar {r}}_{s}}\times M{{\dot {\bar {r}}}_{s}}\right)+{\frac {d}{dt}}{\bar {L}}=M{{\dot {\bar {r}}}_{s}}\times {{\dot {\bar {r}}}_{s}}+{{\bar {r}}_{S}}\times M{{\ddot {\bar {r}}}_{S}}+{\frac {d}{dt}}{\bar {L}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (30 KB / 3.552 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\frac{d}{dt}\bar{l}=\frac{d}{dt}\left({{{\bar{r}}}% _{s}}\times M\bar{V}+\int{{{d}^{3}}x\rho(\bar{x})\bar{x}}\times\left(\bar{% \omega}\times\bar{x}\right)\right)=\frac{d}{dt}\left({{{\bar{r}}}_{s}}\times M% {{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}\right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}% \times{{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+% \frac{d}{dt}\bar{L}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\frac{d}{dt}\bar{l}=\frac{d}{dt}\left({{{\bar{r}}}%&#10;_{s}}\times M\bar{V}+\int{{{d}^{3}}x\rho(\bar{x})\bar{x}}\times\left(\bar{%&#10;\omega}\times\bar{x}\right)\right)=\frac{d}{dt}\left({{{\bar{r}}}_{s}}\times M%&#10;{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}\right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}%&#10;\times{{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+%&#10;\frac{d}{dt}\bar{L}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.58" xref="p1.1.m1.1.58.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.58.2" xref="p1.1.m1.1.58.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.58.2.1" xref="p1.1.m1.1.58.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">l</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">¯</mo>
        </mover>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.58.3" xref="p1.1.m1.1.58.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">d</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">t</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.58.3.1" xref="p1.1.m1.1.58.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.1.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.1.2.1.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">r</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">¯</mo>
                  </mover>
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">s</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">×</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">M</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">V</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">+</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">∫</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">d</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">3</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">x</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">ρ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">(</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">x</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">x</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">×</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.2.2.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.23.2.cmml">ω</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                      <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">×</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.cmml">x</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
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            </mstyle>
          </mrow>
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        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">=</mo>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.58.4.1" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.29a" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.29.2" xref="p1.1.m1.1.29.2.cmml">d</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.29.3" xref="p1.1.m1.1.29.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.29.3.1" xref="p1.1.m1.1.29.3.1.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.29.3.3" xref="p1.1.m1.1.29.3.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.29.3.2" xref="p1.1.m1.1.29.3.2.cmml">t</mi>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.58.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.58.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.cmml">(</mo>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2.1.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.cmml">r</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.31.1.cmml">¯</mo>
                  </mover>
                  <mi id="p1.1.m1.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.32.1.cmml">s</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">×</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">M</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.3.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.35.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.2.cmml">r</mi>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">˙</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.36.1.cmml">s</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.39.2" xref="p1.1.m1.1.39.2.cmml">d</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.39.3.1" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.39.3.3" xref="p1.1.m1.1.39.3.3.cmml">⁢</mo>
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          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.40.cmml">
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          </mover>
        </mrow>
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                </mover>
                <mo id="p1.1.m1.1.43.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.cmml">˙</mo>
              </mover>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝜌</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.1.3">
                      <ci id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2">𝑥</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">
                      <ci id="p1.1.m1.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.20.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2">𝑥</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.3.2.2.2.1.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">
                      <ci id="p1.1.m1.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.23.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.2">𝜔</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25">
                      <ci id="p1.1.m1.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.25.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2">𝑥</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
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              <apply id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29">
                <divide id="p1.1.m1.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.29.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2">𝑑</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.29.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.29.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.3.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.29.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.3.1">𝑑</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.29.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.3.2">𝑡</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2">
                <times id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.2.1">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.31">
                      <ci id="p1.1.m1.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.31.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2">𝑟</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.32.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.32.1">𝑠</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.34">𝑀</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.4.1.2.2.3">subscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35">
                    <ci id="p1.1.m1.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.1">˙</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.35.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2">
                      <ci id="p1.1.m1.1.35.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.35.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2.1.2">𝑟</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.1">𝑠</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.58.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.4.2">
              <times id="p1.1.m1.1.58.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.4.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.39.cmml" xref="p1.1.m1.1.39">
                <divide id="p1.1.m1.1.39.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.39.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.2">𝑑</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.39.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.39.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.39.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.1">𝑑</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.39.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.2">𝑡</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.40.cmml" xref="p1.1.m1.1.40">
                <ci id="p1.1.m1.1.40.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.1">¯</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.40.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2">𝐿</ci>
              </apply>
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                <times id="p1.1.m1.1.58.5.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.1.1.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.42.cmml" xref="p1.1.m1.1.42">𝑀</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.58.5.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.1.1.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.58.5.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.1.1.2">subscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.43">
                    <ci id="p1.1.m1.1.43.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1">˙</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.43.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.2">
                      <ci id="p1.1.m1.1.43.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.2.1.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.43.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.2.1.2">𝑟</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.44.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.1">𝑠</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.58.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.1.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.58.5.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.1.2">subscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.46.cmml" xref="p1.1.m1.1.46">
                  <ci id="p1.1.m1.1.46.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.46.1">˙</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.46.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.46.2">
                    <ci id="p1.1.m1.1.46.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.46.2.1.1">¯</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.46.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.46.2.1.2">𝑟</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.47.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.47.1">𝑠</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.58.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.2">
              <times id="p1.1.m1.1.58.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.2.1"/>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.58.5.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.2.2.1">subscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.49.cmml" xref="p1.1.m1.1.49">
                    <ci id="p1.1.m1.1.49.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.49.1">¯</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.49.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.49.2">𝑟</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.50.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.50.1">𝑆</ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.52.cmml" xref="p1.1.m1.1.52">𝑀</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.58.5.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.2.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.58.5.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.2.3">subscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.53.cmml" xref="p1.1.m1.1.53">
                  <ci id="p1.1.m1.1.53.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.53.1">¨</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.53.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.53.2">
                    <ci id="p1.1.m1.1.53.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.53.2.1.1">¯</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.53.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.53.2.1.2">𝑟</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.54.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.54.1">𝑆</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.58.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.3">
              <times id="p1.1.m1.1.58.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58.5.3.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.56.cmml" xref="p1.1.m1.1.56">
                <divide id="p1.1.m1.1.56.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.56"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.56.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.56.2">𝑑</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.56.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.56.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.56.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.56.3.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.56.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.56.3.1">𝑑</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.56.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.56.3.2">𝑡</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.57.cmml" xref="p1.1.m1.1.57">
                <ci id="p1.1.m1.1.57.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.57.1">¯</ci>
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_{s}}\times M\bar{V}+\int{{{d}^{3}}x\rho(\bar{x})\bar{x}}\times\left(\bar{%
\omega}\times\bar{x}\right)\right)=\frac{d}{dt}\left({{{\bar{r}}}_{s}}\times M%
{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}\right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}%
\times{{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+%
\frac{d}{dt}\bar{L}}}</annotation>
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\frac{d}{d t} \bar{l} = \frac{d}{d t} ({\bar{r}}_{s} \times M \bar{V} + \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) \bar{x} \times (\bar{ω} \times \bar{x})) = \frac{d}{d t} ({\bar{r}}_{s} \times M {\dot{\bar{r}}}_{s}) + \frac{d}{d t} \bar{L} = M {\dot{\bar{r}}}_{s} \times {\dot{\bar{r}}}_{s} + {\bar{r}}_{S} \times M {\ddot{\bar{r}}}_{S} + \frac{d}{d t} \bar{L}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>l</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi></mrow></msub><mo>&#x00D7;</mo><mi>M</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>V</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><munderover><mo texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow></munderover></mstyle><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msup><mi>x</mi><mi>&#x03C1;</mi><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>&#x00D7;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>&#x03C9;</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>&#x00D7;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi></mrow></msub><mo>&#x00D7;</mo><mi>M</mi><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>L</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mi>M</mi><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi></mrow></msub><mo>&#x00D7;</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>s</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>S</mi></mrow></msub><mo>&#x00D7;</mo><mi>M</mi><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>¨</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>S</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>L</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow></math>

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