Drehimpuls und Bewegungsgleichungen

Aus PhysikWiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen




Drehimpuls

  1. diskret:
l¯=i=1nmir¯i×r¯˙i=i=1nmi(r¯S+x¯(i))×(V¯+ω¯×x¯(i))l¯=i=1nmi(r¯S×V¯)+i=1nmix¯(i)×V¯+r¯S×(ω¯×imix¯(i))+imix¯(i)×(ω¯×x¯(i))i=1nmix¯(i)×V¯=i=1nmi(x¯(i))=0l¯=i=1nmi(r¯S×V¯)+imix¯(i)×(ω¯×x¯(i))=M(r¯S×V¯)+imix¯(i)×(ω¯×x¯(i)) Mit M(r¯S×V¯)
als Schwerpunktsdrehimpuls


imix¯(i)×(ω¯×x¯(i))
als Relativdrehimpuls
  1. kontinuierliche Situation


l¯=r¯s×MV¯+d3xρ(x¯)x¯×(ω¯×x¯)L¯=d3xρ(x¯)x¯×(ω¯×x¯)=d3xρ(x¯)[x2ω¯(x¯ω¯)x¯]


Also:


L¯=J¯¯ω¯


Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:


Lm=n=13d3xρ(x¯)[x2δmnxmxn]ωn=n=13Jmnωn


Nebenbemerkung:

Im Allgemeinen ist

L¯

nicht parallel zu

ω¯,
nur falls
ω¯

in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt!

Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls

ddtl¯=ir¯i×F¯i.
Dabei sind
F¯i

äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft

F¯(r¯S)=iF¯i

soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:


iF¯imi=F¯(r¯S)M


Somit:


ddtl¯=imir¯i×F¯imi=r¯S×F¯(r¯S)


Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:


Mr¯¨S=F¯(r¯S)

(Newton)


ddtl¯=ddt(r¯s×MV¯+d3xρ(x¯)x¯×(ω¯×x¯))=ddt(r¯s×Mr¯˙s)+ddtL¯=Mr¯˙s×r¯˙s+r¯S×Mr¯¨S+ddtL¯


Mr¯˙s×r¯˙s=0r¯S×Mr¯¨S=r¯S×F¯(r¯S)


ddtl¯=r¯S×F¯(r¯S)+ddtL¯


Gleichzeitig gilt:

ddtl¯=imir¯i×F¯imi=r¯S×F¯(r¯S)


Somit:


ddtL¯=0
Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.

Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen.

Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System

K¯

erfolgen:

Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung

(ddt)´,
die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.

Also:


(ddt)=(ddt)´+ω¯×


Somit gilt für das körperfeste System

K¯


L¯˙+ω¯×L¯=0(ddt)´L¯+ω¯×L¯=0


Mit

L¯=J¯¯ω¯

folgt im körperfesten System,wo gilt:

J¯¯˙

=0


J¯¯ω¯˙+ω¯×J¯¯ω¯=0


Dies ist eine nichtlineare DGL in

ω¯

Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls

J¯¯

diagonal (Hauptträgheitsachsensystem):


J1ω˙1=(J2J3)ω2ω3J2ω˙2=(J3J1)ω3ω1J3ω˙3=(J1J2)ω1ω2


Beispiel: Symmetrischer Kreisel:

J1=J2JJ3


ω˙3=0,
also
ω3=const

im mitrotierenden System


Jω˙1=(JJ3)ω2ω3ω¨1=(JJ3)Jω˙2ω3=[(JJ3)Jω3]2ω1


Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten


ω,ϕ0

und der Zusammenfassung

ω0:=(JJ3)Jω3


folgt:


ω1=ωcos(ω0t+ϕ0)


Dies kann in


Jω˙1=(JJ3)ω2ω3

eingesetzt werden und es ergibt sich:


ω2=ωsin(ω0t+ϕ0)


Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:

Dabei ist x3 die Figurenachse (Achse durch die Drehachse von J3)

Es gilt:


ω1(t)2+ω2(t)2=ω2=const


ω1(t)2+ω2(t)2+ω3(t)2=ω2+ω3(t)2=const


Das heißt


ω¯

und damit auch

L¯ mit Li=Jiωi
rotieren um die Figurenachse
f¯||x3


Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen, so gilt mit

ddtL¯=0L¯fest


ω¯ und f¯

präzedieren um die raumfeste Achse

L¯.
Dabei müssen
ω¯,
f¯ und L¯

stets in einer Ebene liegen.

Anwendung:

Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:


(JJ3)J13002πω3=1Tag


Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:


T=2πω0=2πJω3(JJ3)=J(JJ3)1Tag=300Tage


Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse! rac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>