Drehimpuls und Bewegungsgleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Drehimpuls und Bewegungsgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Drehimpuls

diskret:

\begin{matrix} \bar{l} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\bar{r}}_{i} \times {\dot{\bar{r}}}_{i} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} ({\bar{r}}_{S} + {\bar{x}}^{(i)}) \times (\bar{V} + \bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)}) \\ \bar{l} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} ({\bar{r}}_{S} \times \bar{V}) + \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times \bar{V} + {\bar{r}}_{S} \times (\bar{ω} \times \sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)}) + \sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times (\bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)}) \\ \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times \bar{V} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} ({\bar{x}}^{(i)}) = 0 \\ \bar{l} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} ({\bar{r}}_{S} \times \bar{V}) + \sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times (\bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)}) = M ({\bar{r}}_{S} \times \bar{V}) + \sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times (\bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)}) \end{matrix}

Mit

M ({\bar{r}}_{S} \times \bar{V})

als Schwerpunktsdrehimpuls

\sum_{i} m_{i} {\bar{x}}^{(i)} \times (\bar{ω} \times {\bar{x}}^{(i)})

als Relativdrehimpuls

kontinuierliche Situation

\begin{matrix} \bar{l} = {\bar{r}}_{s} \times M \bar{V} + \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) \bar{x} \times (\bar{ω} \times \bar{x}) \\ \bar{L} = \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) \bar{x} \times (\bar{ω} \times \bar{x}) = \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) [x^{2} \bar{ω} - (\bar{x} \cdot \bar{ω}) \bar{x}] \end{matrix}

Also:

\bar{L} = \bar{\bar{J}} \bar{ω}

Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:

L_{m} = \sum_{n = 1}^{3} \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) [x^{2} δ_{m n} - x_{m} x_{n}] ω_{n} = \sum_{n = 1}^{3} J_{m n} ω_{n}

Nebenbemerkung:

Im Allgemeinen ist

\bar{L}

nicht parallel zu

\bar{ω}

,

nur falls

\bar{ω}

in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt!

Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls

\frac{d}{d t} \bar{l} = \sum_{i} {\bar{r}}_{i} \times {\bar{F}}_{i}

.

Dabei sind

{\bar{F}}_{i}

äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft

\bar{F} ({\bar{r}}_{S}) = \sum_{i} {\bar{F}}_{i}

soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:

\sum_{i} \frac{{\bar{F}}_{i}}{m_{i}} = \frac{\bar{F} ({\bar{r}}_{S})}{M}

Somit:

\frac{d}{d t} \bar{l} = \sum_{i} m_{i} {\bar{r}}_{i} \times \frac{{\bar{F}}_{i}}{m_{i}} = {\bar{r}}_{S} \times \bar{F} ({\bar{r}}_{S})

Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:

M {\ddot{\bar{r}}}_{S} = \bar{F} ({\bar{r}}_{S})

(Newton)

\frac{d}{d t} \bar{l} = \frac{d}{d t} ({\bar{r}}_{s} \times M \bar{V} + \int_{}^{} d^{3} x ρ (\bar{x}) \bar{x} \times (\bar{ω} \times \bar{x})) = \frac{d}{d t} ({\bar{r}}_{s} \times M {\dot{\bar{r}}}_{s}) + \frac{d}{d t} \bar{L} = M {\dot{\bar{r}}}_{s} \times {\dot{\bar{r}}}_{s} + {\bar{r}}_{S} \times M {\ddot{\bar{r}}}_{S} + \frac{d}{d t} \bar{L}

\begin{matrix} M {\dot{\bar{r}}}_{s} \times {\dot{\bar{r}}}_{s} = 0 \\ {\bar{r}}_{S} \times M {\ddot{\bar{r}}}_{S} = {\bar{r}}_{S} \times \bar{F} ({\bar{r}}_{S}) \end{matrix}

\frac{d}{d t} \bar{l} = {\bar{r}}_{S} \times \bar{F} ({\bar{r}}_{S}) + \frac{d}{d t} \bar{L}

Gleichzeitig gilt:

\frac{d}{d t} \bar{l} = \sum_{i} m_{i} {\bar{r}}_{i} \times \frac{{\bar{F}}_{i}}{m_{i}} = {\bar{r}}_{S} \times \bar{F} ({\bar{r}}_{S})

Somit:

\frac{d}{d t} \bar{L} = 0

Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.

Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen.

Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System

\bar{K}

erfolgen:

Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung

(\frac{d}{d t}) \overset{´}{}

,

die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.

Also:

(\frac{d}{d t}) = {(\frac{d}{d t})}^{\overset{´}{}} + \bar{ω} \times

Somit gilt für das körperfeste System

\bar{K}

\begin{matrix} \dot{\bar{L}} + \bar{ω} \times \bar{L} = 0 \\ {(\frac{d}{d t})}^{\overset{´}{}} \bar{L} + \bar{ω} \times \bar{L} = 0 \end{matrix}

Mit

\bar{L} = \bar{\bar{J}} \bar{ω}

folgt im körperfesten System,wo gilt:

\dot{\bar{\bar{J}}}

=0

\bar{\bar{J}} \dot{\bar{ω}} + \bar{ω} \times \bar{\bar{J}} \bar{ω} = 0

Dies ist eine nichtlineare DGL in

\bar{ω}

Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls

\bar{\bar{J}}

diagonal (Hauptträgheitsachsensystem):

\begin{matrix} J_{1} {\dot{ω}}_{1} = (J_{2} - J_{3}) ω_{2} ω_{3} \\ J_{2} {\dot{ω}}_{2} = (J_{3} - J_{1}) ω_{3} ω_{1} \\ J_{3} {\dot{ω}}_{3} = (J_{1} - J_{2}) ω_{1} ω_{2} \end{matrix}

Beispiel: Symmetrischer Kreisel:

J_{1} = J_{2} \equiv J \neq J_{3}

{\dot{ω}}_{3} = 0

,

also

ω_{3} = c o n s t

im mitrotierenden System

\begin{matrix} J {\dot{ω}}_{1} = (J_{} - J_{3}) ω_{2} ω_{3} \\ {\ddot{ω}}_{1} = \frac{(J_{} - J_{3})}{J} {\dot{ω}}_{2} ω_{3} = - {[\frac{(J_{} - J_{3})}{J} ω_{3}]}^{2} ω_{1} \end{matrix}

Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten

ω_{⊥}, ϕ_{0}

und der Zusammenfassung

ω_{0} := \frac{(J - J_{3})}{J} ω_{3}

folgt:

ω_{1} = ω_{⊥} \cos (ω_{0} t + ϕ_{0})

Dies kann in

J {\dot{ω}}_{1} = (J_{} - J_{3}) ω_{2} ω_{3}

eingesetzt werden und es ergibt sich:

ω_{2} = - ω_{⊥} \sin (ω_{0} t + ϕ_{0})

Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:

Dabei ist x3 die Figurenachse (Achse durch die Drehachse von J3)

Es gilt:

ω_{1} {(t)}^{2} + ω_{2} {(t)}^{2} = {ω_{⊥}}^{2} = c o n s t

ω_{1} {(t)}^{2} + ω_{2} {(t)}^{2} + ω_{3} {(t)}^{2} = {ω_{⊥}}^{2} + ω_{3} {(t)}^{2} = c o n s t

Das heißt

\bar{ω}

und damit auch

\bar{L}

mit

L_{i} = J_{i} ω_{i}

rotieren um die Figurenachse

\bar{f} | | x_{3}

Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen, so gilt mit

\frac{d}{d t} \bar{L} = 0 \Rightarrow \bar{L} f e s t

\bar{ω}

und

\bar{f}

präzedieren um die raumfeste Achse

\bar{L}

.

Dabei müssen

\bar{ω}

,

\bar{f}

und

\bar{L}

stets in einer Ebene liegen.

Anwendung:

Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:

\begin{matrix} \frac{(J_{} - J_{3})}{J} \approx \frac{1}{300} \\ \frac{2 π}{ω_{3}} = 1 T a g \end{matrix}

Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:

T = \frac{2 π}{ω_{0}} = \frac{2 π J}{ω_{3} (J - J_{3})} = \frac{J}{(J - J_{3})} \cdot 1 T a g = 300 T a g e

Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse! rac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>

Drehimpuls und Bewegungsgleichungen

Drehimpuls

Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls

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