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S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }

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MathML (10.018 KB / 1.593 KB) :

S ⁢ ( ω ) = 1 2 ⁢ π ⁢ ∫ - ∞ + ∞ ⟨ x ⁢ ( t ) ⁢ x ⁢ ( t + τ ) ⟩ ⁢ e i ⁢ ω ⁢ τ ⁢ 𝑑 τ 𝑆 𝜔 1 2 𝜋 superscript subscript delimited-⟨⟩ 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 𝜏 superscript 𝑒 𝑖 𝜔 𝜏 differential-d 𝜏 {\displaystyle{\displaystyle S(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{% \left\langle x(t)x(t+\tau)\right\rangle{{e}^{i\omega\tau}}d\tau}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle S(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{%&#10;\left\langle x(t)x(t+\tau)\right\rangle{{e}^{i\omega\tau}}d\tau}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">S</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.26.1.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.cmml">⁢</mo>
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          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">ω</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">1</mn>
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              <mn id="p1.1.m1.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.cmml">⁢</mo>
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        </mstyle>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.26.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.26.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">∫</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">-</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml">+</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml">∞</mi>
              </mrow>
            </msubsup>
          </mstyle>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.26.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.2.2.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">x</mi>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">t</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.26.2.2.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">+</mo>
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              </mrow>
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            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.26.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.26.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.2.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">e</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.23.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.1.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.23.1.4" xref="p1.1.m1.1.23.1.4.cmml">⁢</mo>
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</math>

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S(ω)=12π∫−∞+∞⟨x(t)x(t+τ)⟩eiωτdτ
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