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* Page found: Kontinuitätsgleichung (eq math.2060.5)

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\Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (16.22 KB / 2.282 KB) :

⇒ d d ⁢ t ⁢ ∫ V d 3 ⁢ r ⁢ ρ ⁢ ( r ¯ , t ) = - ∮ ∂ ⁡ V 𝑑 f ¯ ⁢ j ¯ ⁢ ( r ¯ , t ) = - ∫ V d 3 ⁢ r ⁢ ∇ ⋅ j ¯ ⁢ ( r ¯ , t ) ⇒ absent 𝑑 𝑑 𝑡 subscript 𝑉 superscript 𝑑 3 𝑟 𝜌 ¯ 𝑟 𝑡 subscript contour-integral 𝑉 differential-d ¯ 𝑓 ¯ 𝑗 ¯ 𝑟 𝑡 subscript 𝑉 ⋅ superscript 𝑑 3 𝑟 ∇ ¯ 𝑗 ¯ 𝑟 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow\frac{d}{dt}\int_{V}{{}}{{d}^{3}}r\rho(% \bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}{% {{d}^{3}}r}\nabla\cdot\bar{j}(\bar{r},t)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow\frac{d}{dt}\int_{V}{{}}{{d}^{3}}r\rho(%&#10;\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}{%&#10;{{d}^{3}}r}\nabla\cdot\bar{j}(\bar{r},t)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.41.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.cmml"/>
      <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">⇒</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.41.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">d</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.2.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.2.3.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.2.3.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">t</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.41.3.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.41.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.41.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">∫</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">V</mi>
            </msub>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.41.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">d</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">3</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.41.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">r</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.41.3.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">ρ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.41.3.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.3.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.3.1.cmml">(</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.3.1.cmml">,</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">t</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.41.4" xref="p1.1.m1.1.41.4.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.1" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.41.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.1.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.41.4.1.1a" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">∮</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.17.1.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.17.1a" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">⁡</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.17.1.2.cmml">V</mi>
              </mrow>
            </munder>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.2.2.cmml">
              <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">𝑑</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.cmml">f</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.41.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">j</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">¯</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.41.4.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.2.3.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.2.3.1.cmml">(</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.2.3.1.cmml">,</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">t</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.2.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
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        <mo id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.5.1" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.41.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.41.5.1.1a" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">∫</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">V</mi>
            </msub>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.41.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">d</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.31.1.cmml">3</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">r</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">∇</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">⋅</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">j</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.3.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.3.1.cmml">(</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.37.2" xref="p1.1.m1.1.37.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.37.1" xref="p1.1.m1.1.37.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.3.1.cmml">,</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.39.cmml">t</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
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          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">⇒</ci>
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.41.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.2">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.41.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.3">
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            <apply id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">
              <divide id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2">𝑑</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3">
                <times id="p1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.3"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.1">𝑑</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.2">𝑡</ci>
              </apply>
            </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.41.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1">𝑉</ci>
              </apply>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.41.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝑑</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">3</cn>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑟</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">𝜌</ci>
                <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.41.3.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.2.3">
                  <apply id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">
                    <ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">¯</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2">𝑟</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑡</ci>
                </interval>
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          </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.41.4.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.1">subscript</csymbol>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">contour-integral</csymbol>
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                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.17.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.2">𝑉</ci>
                </apply>
              </apply>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1">¯</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1">¯</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.20.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2">𝑗</ci>
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                <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.41.4.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.2.3">
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                    <ci id="p1.1.m1.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2">𝑟</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝑡</ci>
                </interval>
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          <apply id="p1.1.m1.1.41.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.5">
            <minus id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.41.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.5.1">
              <apply id="p1.1.m1.1.41.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.41.5.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1">𝑉</ci>
              </apply>
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                <apply id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2">
                  <ci id="p1.1.m1.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.34">⋅</ci>
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                    <times id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.1"/>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.5.1.2.2.1.2">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">𝑑</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1">3</cn>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow\frac{d}{dt}\int_{V}{{}}{{d}^{3}}r\rho(%
\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}{%
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⇒ d d t ∫ V d 3 r ρ ( r ¯ , t ) = − ∮ ∂ V ⁡ d f ¯ j ¯ ( r ¯ , t ) = − ∫ V d 3 r ∇ ⋅ j ¯ ( r ¯ , t ) {\displaystyle \Rightarrow {\frac {d}{dt}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)=-\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {j}}({\bar {r}},t)=-\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \Rightarrow {\frac {d}{dt}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)=-\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {j}}({\bar {r}},t)=-\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)}">
  <semantics>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow {\frac {d}{dt}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)=-\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {j}}({\bar {r}},t)=-\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)}</annotation>
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{\displaystyle \Rightarrow {\frac {d}{dt}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)=-\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {j}}({\bar {r}},t)=-\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot {\bar {j}}({\bar {r}},t)}

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