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\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I

TeX (checked): 

{\frac {d}{dt}}Q(t)={\frac {d}{dt}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho ({\bar {r}},t)=-\oint \limits _{\partial V}{}\delta I

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MathML (10.261 KB / 1.645 KB) :

d d ⁢ t ⁢ Q ⁢ ( t ) = d d ⁢ t ⁢ ∫ V d 3 ⁢ r ⁢ ρ ⁢ ( r ¯ , t ) = - ∮ ∂ ⁡ V δ ⁢ I 𝑑 𝑑 𝑡 𝑄 𝑡 𝑑 𝑑 𝑡 subscript 𝑉 superscript 𝑑 3 𝑟 𝜌 ¯ 𝑟 𝑡 subscript contour-integral 𝑉 𝛿 𝐼 {\displaystyle{\displaystyle\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}{{}}{{d}^{3}}% r\rho(\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}{{}}{{d}^{3}}%&#10;r\rho(\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.25.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">Q</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.25.2.1a" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.25.2.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.25.2.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">t</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.25.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">d</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml">⁢</mo>
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            </mrow>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.25.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.25.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">∫</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">V</mi>
            </msub>
          </mstyle>
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            <msup id="p1.1.m1.1.25.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">d</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">3</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">r</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">ρ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.3.1.cmml">(</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.3.1.cmml">,</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">t</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.25.4" xref="p1.1.m1.1.25.4.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.25.4.1" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.25.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.1.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.25.4.1.1a" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">∮</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.22.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.22.1a" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">⁡</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.22.1.2" xref="p1.1.m1.1.22.1.2.cmml">V</mi>
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            </munder>
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            <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">δ</mi>
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                <ci id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">𝑉</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝜌</ci>
                <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.25.3.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.2.3">
                  <apply id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
                    <ci id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">¯</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2">𝑟</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">𝑡</ci>
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          </apply>
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            <minus id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.25.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.4.1">
              <apply id="p1.1.m1.1.25.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.4.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.1">subscript</csymbol>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">contour-integral</csymbol>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.22.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.2">𝑉</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.25.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.2">
                <times id="p1.1.m1.1.25.4.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.2.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">𝛿</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝐼</ci>
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r\rho(\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I}}</annotation>
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ddtQ(t)=ddt∫Vd3rρ(r¯,t)=−∮∂VδI
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mi>Q</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><munderover><mo texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>V</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow></munderover></mstyle><msup><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msup><mi>r</mi><mi>&#x03C1;</mi><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><munder><mstyle displaystyle="true"><mo>&#x222E;</mo></mstyle><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>V</mi></mrow></mrow></munder><mi>&#x03B4;</mi><mi>I</mi></mstyle></mrow></math>

Translations to Computer Algebra Systems

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In Maple:

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In Mathematica:

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Calculated based on the variables occurring on the entire Kontinuitätsgleichung page

Identifiers

  • d
  • d
  • t
  • Q
  • t
  • d
  • d
  • t
  • V
  • r
  • ρ
  • r¯
  • t
  • V
  • δ
  • I

MathML observations

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