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* Page found: Relativistisches Hamiltonprinzip (eq math.2176.13)

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Relativistisches Hamiltonprinzip Eq: math.2176.13

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TeX (original user input):

\begin{align}
& d{{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}{{u}_{\nu }}ds \\
& \delta {{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }} \\
& \delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}d{{x}_{\mu }}=i<->k={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}{{u}_{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}ds \\
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&d{{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}{{u}_{\nu }}ds\\&\delta {{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}\\&\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}d{{x}_{\mu }}=i<->k={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}{{u}_{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}ds\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (28.633 KB / 3.083 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle d{{\phi}^{\mu}}={{% \partial}^{\nu}}{{\phi}^{\mu}}d{{x}_{\nu}}={{\partial}^{\nu}}{{\phi}^{\mu}}{{u% }_{\nu}}ds\\ &\displaystyle\delta{{\phi}^{\mu}}={{\partial}^{\nu}}{{\phi}^{\mu}}\delta{{x}_% {\nu}}\\ &\displaystyle\delta{{\phi}^{\mu}}d{{x}_{\mu}}={{\partial}^{\nu}}{{\phi}^{\mu}% }\delta{{x}_{\nu}}d{{x}_{\mu}}=i<->k={{\partial}^{\mu}}{{\phi}^{\nu}}\delta{{x% }_{\mu}}d{{x}_{\nu}}={{\partial}^{\mu}}{{\phi}^{\nu}}{{u}_{\nu}}\delta{{x}_{% \mu}}ds\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle d{{\phi}^{\mu}}={{%&#10;\partial}^{\nu}}{{\phi}^{\mu}}d{{x}_{\nu}}={{\partial}^{\nu}}{{\phi}^{\mu}}{{u%&#10;}_{\nu}}ds\\&#10;&amp;\displaystyle\delta{{\phi}^{\mu}}={{\partial}^{\nu}}{{\phi}^{\mu}}\delta{{x}_%&#10;{\nu}}\\&#10;&amp;\displaystyle\delta{{\phi}^{\mu}}d{{x}_{\mu}}={{\partial}^{\nu}}{{\phi}^{\mu}%&#10;}\delta{{x}_{\nu}}d{{x}_{\mu}}=i&lt;-&gt;k={{\partial}^{\mu}}{{\phi}^{\nu}}\delta{{x%&#10;}_{\mu}}d{{x}_{\nu}}={{\partial}^{\mu}}{{\phi}^{\nu}}{{u}_{\nu}}\delta{{x}_{%&#10;\mu}}ds\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">d</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">ϕ</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">μ</mi>
              </msup>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">∂</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">ν</mi>
              </msup>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">ϕ</mi>
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                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1.cmml">⁢</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">x</mi>
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                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">∂</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">ν</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">ϕ</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">μ</mi>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml">⁢</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">u</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">ν</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">s</mi>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">δ</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">ϕ</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">μ</mi>
              </msup>
            </mrow>
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              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">ν</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">ϕ</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">μ</mi>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">δ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">x</mi>
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                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
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      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">δ</mi>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.47" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.47.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">ϕ</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">μ</mi>
            </msup>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">d</mi>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.48.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">x</mi>
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">=</mo>
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            </msup>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.50" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.50.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">μ</mi>
            </msup>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">δ</mi>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.51" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.51.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">x</mi>
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">d</mi>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.52" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.52.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">x</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml">μ</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml">=</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">i</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">&lt;</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml">-</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml">&gt;</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml">k</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">=</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.53" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.53.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml">∂</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26.1.cmml">μ</mi>
            </msup>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.54" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.54.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.cmml">ϕ</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.1.cmml">ν</mi>
            </msup>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.cmml">δ</mi>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.55" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.55.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.cmml">x</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.1.cmml">μ</mi>
            </msub>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.cmml">d</mi>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.56" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.56.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33.cmml">x</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1.cmml">ν</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.cmml">=</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.57" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.57.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.36.cmml">∂</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.37.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.37.1.cmml">μ</mi>
            </msup>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.58" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.58.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.cmml">ϕ</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.1.cmml">ν</mi>
            </msup>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.59" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.59.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.40.cmml">u</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.41.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.41.1.cmml">ν</mi>
            </msub>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.42" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.42.cmml">δ</mi>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.60" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.60.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.43.cmml">x</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.44.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.44.1.cmml">μ</mi>
            </msub>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.45" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.45.cmml">d</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.46" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.46.cmml">s</mi>
          </mrow>
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      </mtr>
    </mtable>
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      <matrix id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">
                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑑</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">italic-ϕ</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1">𝜇</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1">superscript</csymbol>
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">𝜈</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.2">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">italic-ϕ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1">𝜇</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">𝑑</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1">𝜈</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
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              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1">superscript</csymbol>
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1">𝜈</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">italic-ϕ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">𝜇</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">𝑢</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1">𝜈</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">𝑑</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">𝑠</ci>
                </apply>
              </apply>
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          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝛿</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">italic-ϕ</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1">𝜇</ci>
              </apply>
            </apply>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">italic-ϕ</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1">𝜇</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">𝑥</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">𝜈</ci>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.48.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.48">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5">𝑥</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1">𝜈</ci>
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            <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15">d</csymbol>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle d{{\phi}^{\mu}}={{%
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}_{\nu}}ds\\
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{\nu}}\\
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\mu}}ds\\
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MathML (2.811 KB / 386 B) :

\begin{aligned} d ϕ^{μ} = \partial^{ν} ϕ^{μ} d x_{ν} = \partial^{ν} ϕ^{μ} u_{ν} d s \\ δ ϕ^{μ} = \partial^{ν} ϕ^{μ} δ x_{ν} \\ δ ϕ^{μ} d x_{μ} = \partial^{ν} ϕ^{μ} δ x_{ν} d x_{μ} = i < - > k = \partial^{μ} ϕ^{ν} δ x_{μ} d x_{ν} = \partial^{μ} ϕ^{ν} u_{ν} δ x_{μ} d s \end{aligned}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>d</mi><msup><mi>&#x03D5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>&#x2202;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msup><msup><mi>&#x03D5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msup><mi>d</mi><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mi>&#x2202;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msup><msup><mi>&#x03D5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msup><msub><mi>u</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msub><mi>d</mi><mi>s</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>&#x03B4;</mi><msup><mi>&#x03D5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>&#x2202;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msup><msup><mi>&#x03D5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msup><mi>&#x03B4;</mi><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>&#x03B4;</mi><msup><mi>&#x03D5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msup><mi>d</mi><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mi>&#x2202;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msup><msup><mi>&#x03D5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msup><mi>&#x03B4;</mi><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>&lt;</mo><mo>&#x2212;</mo><mo>&gt;</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><msup><mi>&#x2202;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msup><msup><mi>&#x03D5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msup><mi>&#x03B4;</mi><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msub><mi>d</mi><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mi>&#x2202;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msup><msup><mi>&#x03D5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msup><msub><mi>u</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BD;</mi></mrow></msub><mi>&#x03B4;</mi><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03BC;</mi></mrow></msub><mi>d</mi><mi>s</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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