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\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle  n \right|\rho {{O}_{S}}\left| n \right\rangle }\equiv \text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)

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⟨ O S ⟩ = ∑ n ⟨ n | ρ ⁢ O S | n ⟩ ≡ Tr ⁢ ( ρ ⁢ O S ) delimited-⟨⟩ subscript 𝑂 𝑆 subscript 𝑛 quantum-operator-product 𝑛 𝜌 subscript 𝑂 𝑆 𝑛 Tr 𝜌 subscript 𝑂 𝑆 {\displaystyle{\displaystyle\left\langle{{O}_{S}}\right\rangle=\sum\limits_{n}% {\left\langle n\right|\rho{{O}_{S}}\left|n\right\rangle}\equiv\text{Tr}\left(% \rho{{O}_{S}}\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{{O}_{S}}\right\rangle=\sum\limits_{n}%&#10;{\left\langle n\right|\rho{{O}_{S}}\left|n\right\rangle}\equiv\text{Tr}\left(%&#10;\rho{{O}_{S}}\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.1.cmml">⟨</mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">O</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">S</mi>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
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      <mrow id="p1.1.m1.1.24.3" xref="p1.1.m1.1.24.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.24.3.1" xref="p1.1.m1.1.24.3.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.24.3.1a" xref="p1.1.m1.1.24.3.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">∑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">n</mi>
          </munder>
        </mstyle>
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          <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.24.3.2.1.1.cmml">⟨</mo>
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          <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.24.3.2.1.1.cmml">|</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.24.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.3.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">ρ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.24.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.24.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.3.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">O</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">S</mi>
            </msub>
          </mrow>
          <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.24.3.2.1.1.cmml">|</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">n</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.24.3.2.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">≡</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.24.4" xref="p1.1.m1.1.24.4.cmml">
        <mtext id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18a.cmml">Tr</mtext>
        <mo id="p1.1.m1.1.24.4.1" xref="p1.1.m1.1.24.4.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.24.4.2" xref="p1.1.m1.1.24.4.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.24.4.2.2.cmml">(</mo>
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            <msub id="p1.1.m1.1.24.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.4.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">O</mi>
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            </msub>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.24.4.2.2.cmml">)</mo>
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      </mrow>
    </mrow>
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              <ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">𝑂</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝑂</ci>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{{O}_{S}}\right\rangle=\sum\limits_{n}%
{\left\langle n\right|\rho{{O}_{S}}\left|n\right\rangle}\equiv\text{Tr}\left(%
\rho{{O}_{S}}\right)}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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⟨OS⟩=∑n⟨n|ρOS|n⟩≡Tr(ρOS)
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mi>O</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>S</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munder><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mi>&#x03C1;</mi><msub><mi>O</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>S</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mrow><mo>&#x2261;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext>Tr</mtext></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03C1;</mi><msub><mi>O</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>S</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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