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Quantentheoretischer Zugang Eq: math.2232.9

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TeX (original user input):

\begin{align}
  & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\
 & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{  w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\
 & \Rightarrow {{k}_{i}}=\left( {{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}} \right):\,\,{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{  w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (30.078 KB / 3.489 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\Rightarrow{{e}^{i% \vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left(\vec{r}+\vec{L}\right)}},\quad\vec{L}=% \left(L,L,L\right)\\ &\displaystyle\Rightarrow{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{ w }\!\!\ddot{\mathrm% {a}}\!\!\text{ hlen}\\ &\displaystyle\Rightarrow{{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):% \,\,{{k}_{i}}=\frac{2\pi}{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in\mathbb{Z}\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\Rightarrow{{e}^{i%&#10;\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left(\vec{r}+\vec{L}\right)}},\quad\vec{L}=%&#10;\left(L,L,L\right)\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{ w }\!\!\ddot{\mathrm%&#10;{a}}\!\!\text{ hlen}\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow{{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):%&#10;\,\,{{k}_{i}}=\frac{2\pi}{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in\mathbb{Z}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⇒</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.5.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.2.cmml">k</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.cmml">→</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.5a.cmml">.</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.2.cmml">r</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.1.cmml">→</mo>
                  </mover>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.9.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.10.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.10.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.2.cmml">k</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1.cmml">→</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.9a.cmml">.</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.11.2.cmml">(</mo>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5.2.cmml">r</mi>
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                      </mover>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.6.cmml">+</mo>
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                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.7.1.cmml">→</mo>
                      </mover>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.11.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mo rspace="12.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18a.cmml">,</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml">L</mi>
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              </mover>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">L</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.1.cmml">,</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">L</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">e</mi>
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                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.2.cmml">k</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.1.cmml">→</mo>
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                </mrow>
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                </mover>
              </mrow>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml">⁢</mo>
              <mpadded width="-3.3pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6b.cmml"> w </mtext>
              </mpadded>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml">⁢</mo>
              <mpadded width="-3.3pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
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              <mtext id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a.cmml"> hlen</mtext>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.2.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">k</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">i</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">=</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.1.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">k</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml">x</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.1.cmml">,</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">k</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml">y</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.1.cmml">,</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">k</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.cmml">z</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo rspace="5.8pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">:</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.1.cmml">
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                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml">k</mi>
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                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">=</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.3.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.cmml">π</mi>
                      </mrow>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3.cmml">L</mi>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml">m</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo rspace="5.8pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.1a.cmml">,</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.3.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.3.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.cmml">m</mi>
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                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.cmml">∈</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.cmml">ℤ</mi>
              </mrow>
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          </mrow>
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      </mtr>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">formulae-sequence</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">
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              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">⇒</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">𝑒</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.5a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3">formulae-sequence</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1">𝑖</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1">→</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.2">𝑘</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.1">→</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.2">𝑟</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.4">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">𝑒</ci>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.10">
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1">𝑖</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1">→</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.2">𝑘</ci>
                      </apply>
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                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.7">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.7.1">→</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.7.2">𝐿</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1">→</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2">𝐿</ci>
              </apply>
              <vector id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝐿</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">𝐿</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">𝐿</ci>
              </vector>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑒</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.5a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.3">formulae-sequence</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.6">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.6.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.1">𝑖</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.1">→</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.2">𝑘</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.4">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.4.1">→</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.4.2">𝑟</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16">
                <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">1</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">
                  <mpadded width="-3.3pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">
                    <mtext id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"> w </mtext>
                  </mpadded>
                </ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">¨</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2">a</ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12"> hlen</mtext>
                </ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15">:</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31">
              <and id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.2">absent</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.3">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝑘</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1">𝑖</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31">
                <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4"/>
                <share href="#p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.3.cmml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31"/>
                <vector id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6">𝑘</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1">𝑥</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">𝑘</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1">𝑦</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.4">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.4.4">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12">𝑘</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1">𝑧</ci>
                  </apply>
                </vector>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24">formulae-sequence</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2">
                <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.1">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18">𝑘</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1">𝑖</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.3"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.1">2</cn>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.2">𝜋</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3">𝐿</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.32.2.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22">𝑚</ci>
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\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left(\vec{r}+\vec{L}\right)}},\quad\vec{L}=%
\left(L,L,L\right)\\
&amp;\displaystyle\Rightarrow{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{ w }\!\!\ddot{\mathrm%
{a}}\!\!\text{ hlen}\\
&amp;\displaystyle\Rightarrow{{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):%
\,\,{{k}_{i}}=\frac{2\pi}{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in\mathbb{Z}\\
\end{aligned}}}</annotation>
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\begin{aligned} \Rightarrow e^{i \vec{k} . \vec{r}} = e^{i \vec{k} . (\vec{r} + \vec{L})}, \vec{L} = (L, L, L) \\ \Rightarrow e^{i \vec{k} . \vec{r}} = 1 w \ddot{a} hlen \\ \Rightarrow k_{i} = (k_{x}, k_{y}, k_{z}) : k_{i} = \frac{2 π}{L} m_{i}, m_{i} \in ℤ \end{aligned}

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