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Display information for equation id:math.2250.10 on revision:2250

* Page found: Dynamik des statistischen Operators (eq math.2250.10)

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Hash: d5c830aa58a7bca6ed2173fef9904708

TeX (original user input): 

\begin{align}
  & {{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  n \right| \right) \\
 & =\sum\limits_{j}{\left\langle  j \right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| n \right\rangle \left\langle  n  |  j \right\rangle } \\
 & =\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle  j  |  j \right\rangle }_{1}\sum\limits_{i}{\left\langle  {{\Psi }_{i}}  |  n \right\rangle }\left\langle  n \right|{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle } \\
 & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  n  |  {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}}  |  n \right\rangle }=\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle  
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&{{p}_{n}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle n\right|\right)\\&=\sum \limits _{j}{\left\langle j\right|\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|n\right\rangle \left\langle n|j\right\rangle }\\&=\sum \limits _{j}{\underbrace {\left\langle j|j\right\rangle } _{1}\sum \limits _{i}{\left\langle {{\Psi }_{i}}|n\right\rangle }\left\langle n\right|{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle }\\&=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle n|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}|n\right\rangle }=\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle \end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (34.39 KB / 3.805 KB) :

p n = Tr ⁡ ( ρ ⁢ | n ⟩ ⁢ ⟨ n | ) = ∑ j ⟨ j | ∑ i w i | Ψ i ⟩ ⁢ ⟨ Ψ i | ⁢ | n ⟩ ⁢ ⟨ n | j ⟩ = ∑ j ⟨ j | j ⟩ ⏟ 1 ⁢ ∑ i ⟨ Ψ i | n ⟩ ⁢ ⟨ n | w i | Ψ i ⟩ = ∑ i w i ⁢ ⟨ n | Ψ i ⟩ ⁢ ⟨ Ψ i | n ⟩ = ⟨ n | ρ | n ⟩ missing-subexpression subscript 𝑝 𝑛 Tr 𝜌 ket 𝑛 bra 𝑛 missing-subexpression absent subscript 𝑗 quantum-operator-product 𝑗 subscript 𝑖 subscript 𝑤 𝑖 subscript Ψ 𝑖 bra subscript Ψ 𝑖 ket 𝑛 inner-product 𝑛 𝑗 missing-subexpression absent subscript 𝑗 subscript ⏟ inner-product 𝑗 𝑗 1 subscript 𝑖 inner-product subscript Ψ 𝑖 𝑛 quantum-operator-product 𝑛 subscript 𝑤 𝑖 subscript Ψ 𝑖 missing-subexpression absent subscript 𝑖 subscript 𝑤 𝑖 inner-product 𝑛 subscript Ψ 𝑖 inner-product subscript Ψ 𝑖 𝑛 quantum-operator-product 𝑛 𝜌 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle{{p}_{n}}=% \operatorname{Tr}\left(\rho\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\right)\\ &\displaystyle=\sum\limits_{j}{\left\langle j\right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}% \left|{{\Psi}_{i}}\right\rangle\left\langle{{\Psi}_{i}}\right|}\left|n\right% \rangle\left\langle n|j\right\rangle}\\ &\displaystyle=\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle j|j\right\rangle}_{1}% \sum\limits_{i}{\left\langle{{\Psi}_{i}}|n\right\rangle}\left\langle n\right|{% {w}_{i}}\left|{{\Psi}_{i}}\right\rangle}\\ &\displaystyle=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle n|{{\Psi}_{i}}\right% \rangle\left\langle{{\Psi}_{i}}|n\right\rangle}=\left\langle n\right|\rho\left% |n\right\rangle\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle{{p}_{n}}=%&#10;\operatorname{Tr}\left(\rho\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\right)\\&#10;&amp;\displaystyle=\sum\limits_{j}{\left\langle j\right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}%&#10;\left|{{\Psi}_{i}}\right\rangle\left\langle{{\Psi}_{i}}\right|}\left|n\right%&#10;\rangle\left\langle n|j\right\rangle}\\&#10;&amp;\displaystyle=\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle j|j\right\rangle}_{1}%&#10;\sum\limits_{i}{\left\langle{{\Psi}_{i}}|n\right\rangle}\left\langle n\right|{%&#10;{w}_{i}}\left|{{\Psi}_{i}}\right\rangle}\\&#10;&amp;\displaystyle=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle n|{{\Psi}_{i}}\right%&#10;\rangle\left\langle{{\Psi}_{i}}|n\right\rangle}=\left\langle n\right|\rho\left%&#10;|n\right\rangle\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">p</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">n</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">Tr</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">ρ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.1.cmml">
                    <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.1.1.cmml">|</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.3.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">n</mi>
                    <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.3.1.1.cmml">|</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">j</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">j</mi>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.1.cmml">
                      <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.1.cmml">
                        <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">∑</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">i</mi>
                      </munder>
                    </mstyle>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">w</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">i</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.3.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">Ψ</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.2.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">Ψ</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.4.1.cmml">
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.4.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.4.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.5.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.5.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml">n</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.5.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">j</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.5.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">j</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.cmml">
                  <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.6.cmml">
                      <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.6.1.cmml">⟨</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.2.cmml">j</mi>
                      <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.6.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.4.cmml">j</mi>
                      <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.6.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.cmml">⏟</mo>
                  </munder>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.cmml">1</mn>
                </munder>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.1.cmml">
                    <munder id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">∑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml">i</mi>
                    </munder>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.2.cmml">
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">Ψ</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml">i</mi>
                      </msub>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">n</mi>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml">w</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.cmml">i</mi>
                      </msub>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.3.cmml">
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">Ψ</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.cmml">i</mi>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.cmml">i</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">w</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">n</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.2.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">Ψ</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.2.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.cmml">Ψ</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.cmml">n</mi>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.1.cmml">|</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.cmml">ρ</mi>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.1.cmml">|</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.24.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.1.cmml">⟩</mo>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑝</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1">𝑛</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">Tr</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1">
                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">𝜌</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8a">ket</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">𝑛</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.3">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11a">bra</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝑛</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1">𝑗</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2">
                <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">quantum-operator-product</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">𝑗</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.1">subscript</csymbol>
                      <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1">𝑖</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">𝑤</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">𝑖</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.2.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">Ψ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1">𝑖</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">bra</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.3.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16">Ψ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1">𝑖</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.4">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">ket</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20">𝑛</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.5">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22">inner-product</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23">𝑛</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25">𝑗</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1">𝑗</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2">subscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1">⏟</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1">inner-product</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.2">𝑗</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.4">𝑗</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1">1</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.1">subscript</csymbol>
                    <sum id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1">𝑖</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">inner-product</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">Ψ</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1">𝑖</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12">𝑛</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14">quantum-operator-product</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15">𝑛</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17">𝑤</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1">𝑖</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.3">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.2.3.3">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20">Ψ</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1">𝑖</ci>
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                    </apply>
                  </apply>
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            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1l.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.4.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1"/>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1">𝑖</ci>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4">𝑤</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.1">𝑖</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6">inner-product</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">𝑛</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.3.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9">Ψ</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1">𝑖</ci>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12">inner-product</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.4.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13">Ψ</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.1">𝑖</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16">𝑛</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.cmml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19">quantum-operator-product</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20">𝑛</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22">𝜌</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.24">𝑛</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle{{p}_{n}}=%
\operatorname{Tr}\left(\rho\left|n\right\rangle\left\langle n\right|\right)\\
&amp;\displaystyle=\sum\limits_{j}{\left\langle j\right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}%
\left|{{\Psi}_{i}}\right\rangle\left\langle{{\Psi}_{i}}\right|}\left|n\right%
\rangle\left\langle n|j\right\rangle}\\
&amp;\displaystyle=\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle j|j\right\rangle}_{1}%
\sum\limits_{i}{\left\langle{{\Psi}_{i}}|n\right\rangle}\left\langle n\right|{%
{w}_{i}}\left|{{\Psi}_{i}}\right\rangle}\\
&amp;\displaystyle=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle n|{{\Psi}_{i}}\right%
\rangle\left\langle{{\Psi}_{i}}|n\right\rangle}=\left\langle n\right|\rho\left%
|n\right\rangle\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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pn=Tr⁡(ρ|n⟩⟨n|)=∑j⟨j|∑iwi|Ψi⟩⟨Ψi||n⟩⟨n|j⟩=∑j⟨j|j⟩⏟1∑i⟨Ψi|n⟩⟨n|wi|Ψi⟩=∑iwi⟨n|Ψi⟩⟨Ψi|n⟩=⟨n|ρ|n⟩
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi data-mjx-texclass="OP" mathvariant="normal">Tr</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03C1;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mo>=</mo><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></munder><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>j</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></munder><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>w</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>n</mi><mo>|</mo><mi>j</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mo>=</mo><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></munder><mrow data-mjx-texclass="ORD"><munder><mrow data-mjx-texclass="OP"><munder><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>j</mi><mo>|</mo><mi>j</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>&#x23DF;</mo></munder></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow></munder><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></munder><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mo>|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><msub><mi>w</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mo>=</mo><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></munder><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>w</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>n</mi><mo>|</mo><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mo>|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mi>&#x03C1;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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Identifiers

  • pn
  • ρ
  • n
  • n
  • j
  • j
  • i
  • wi
  • Ψi
  • Ψi
  • n
  • n
  • j
  • j
  • j
  • j
  • i
  • Ψi
  • n
  • n
  • wi
  • Ψi
  • i
  • wi
  • n
  • Ψi
  • Ψi
  • n
  • n
  • ρ
  • n

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