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Display information for equation id:math.2413.30 on revision:2413

* Page found: Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen (eq math.2413.30)

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TeX (original user input): 

\begin{align}
& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha  \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\
& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle  \alpha  \right|\hat{X}\left| \alpha  \right\rangle  \\
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&\left\langle {\hat {M}}\right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \alpha |\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \alpha \right|{{\hat {P}}_{\Psi }}{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle :=tr\left({{\hat {P}}_{\Psi }}{\hat {M}}\right)=tr\left({\hat {M}}{{\hat {P}}_{\Psi }}\right)\\&tr{\hat {X}}:=\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left\langle \alpha \right|{\hat {X}}\left|\alpha \right\rangle \\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (27.192 KB / 3.066 KB) :

⟨ M ^ ⟩ = ⟨ Ψ | M ^ | Ψ ⟩ = ∑ α ⟨ α | Ψ ⟩ ⁢ ⟨ Ψ | M ^ | α ⟩ = ∑ α ⟨ α | P ^ Ψ ⁢ M ^ | α ⟩ := t ⁢ r ⁢ ( P ^ Ψ ⁢ M ^ ) = t ⁢ r ⁢ ( M ^ ⁢ P ^ Ψ ) t ⁢ r ⁢ X ^ := ∑ α ⟨ α | X ^ | α ⟩ missing-subexpression delimited-⟨⟩ ^ 𝑀 quantum-operator-product Ψ ^ 𝑀 Ψ subscript 𝛼 inner-product 𝛼 Ψ quantum-operator-product Ψ ^ 𝑀 𝛼 subscript 𝛼 quantum-operator-product 𝛼 subscript ^ 𝑃 Ψ ^ 𝑀 𝛼 assign 𝑡 𝑟 subscript ^ 𝑃 Ψ ^ 𝑀 𝑡 𝑟 ^ 𝑀 subscript ^ 𝑃 Ψ missing-subexpression assign 𝑡 𝑟 ^ 𝑋 subscript 𝛼 quantum-operator-product 𝛼 ^ 𝑋 𝛼 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\left\langle{\hat{M}% }\right\rangle=\left\langle\Psi\right|\hat{M}\left|\Psi\right\rangle=\sum% \limits_{\alpha}{{}}\left\langle\alpha|\Psi\right\rangle\left\langle\Psi\right% |\hat{M}\left|\alpha\right\rangle=\sum\limits_{\alpha}{{}}\left\langle\alpha% \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi}}\hat{M}\left|\alpha\right\rangle:=tr\left({{{\hat{P% }}}_{\Psi}}\hat{M}\right)=tr\left(\hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi}}\right)\\ &\displaystyle tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha}{{}}\left\langle\alpha\right|% \hat{X}\left|\alpha\right\rangle\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left\langle{\hat{M}%&#10;}\right\rangle=\left\langle\Psi\right|\hat{M}\left|\Psi\right\rangle=\sum%&#10;\limits_{\alpha}{{}}\left\langle\alpha|\Psi\right\rangle\left\langle\Psi\right%&#10;|\hat{M}\left|\alpha\right\rangle=\sum\limits_{\alpha}{{}}\left\langle\alpha%&#10;\right|{{{\hat{P}}}_{\Psi}}\hat{M}\left|\alpha\right\rangle:=tr\left({{{\hat{P%&#10;}}}_{\Psi}}\hat{M}\right)=tr\left(\hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi}}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha}{{}}\left\langle\alpha\right|%&#10;\hat{X}\left|\alpha\right\rangle\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">M</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">^</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">Ψ</mi>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1.cmml">|</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.2.cmml">M</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml">^</mo>
              </mover>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1.cmml">|</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">Ψ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">α</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">α</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">Ψ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">Ψ</mi>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.cmml">M</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">α</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml">α</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">α</mi>
                <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.2.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.2.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml">P</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">^</mo>
                    </mover>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1.cmml">Ψ</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.2.cmml">M</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                </mrow>
                <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml">α</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.1.1.cmml">⟩</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml">:=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml">t</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.cmml">r</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2.2.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2.2.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.2.cmml">P</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.cmml">^</mo>
                    </mover>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.cmml">Ψ</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.2.cmml">M</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.cmml">t</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml">r</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.cmml">M</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.2.cmml">P</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.cmml">^</mo>
                    </mover>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.cmml">Ψ</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">t</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">r</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">⁢</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">X</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">^</mo>
              </mover>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">:=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">α</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">α</mi>
                <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.cmml">X</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">^</mo>
                </mover>
                <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">α</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.1.cmml">⟩</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">delimited-⟨⟩</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1">^</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2">𝑀</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">quantum-operator-product</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">Ψ</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1">^</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.2">𝑀</ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">Ψ</ci>
              </apply>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1">𝛼</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">inner-product</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">𝛼</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">Ψ</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.3">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">quantum-operator-product</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">Ψ</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1">^</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2">𝑀</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25">𝛼</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1">𝛼</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">quantum-operator-product</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31">𝛼</ci>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.2.2.2">subscript</csymbol>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2">𝑃</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1">Ψ</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1">^</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.2">𝑀</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37">𝛼</ci>
                </apply>
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              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40">assign</csymbol>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44">
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.2">𝑃</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1">Ψ</ci>
                  </apply>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1">^</ci>
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                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.2.2.2">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1">^</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.2">𝑃</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1">Ψ</ci>
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              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">assign</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">
              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝑡</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑟</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1">^</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2">𝑋</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16">
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1">𝛼</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">quantum-operator-product</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">𝛼</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">^</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2">𝑋</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">𝛼</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left\langle{\hat{M}%
}\right\rangle=\left\langle\Psi\right|\hat{M}\left|\Psi\right\rangle=\sum%
\limits_{\alpha}{{}}\left\langle\alpha|\Psi\right\rangle\left\langle\Psi\right%
|\hat{M}\left|\alpha\right\rangle=\sum\limits_{\alpha}{{}}\left\langle\alpha%
\right|{{{\hat{P}}}_{\Psi}}\hat{M}\left|\alpha\right\rangle:=tr\left({{{\hat{P%
}}}_{\Psi}}\hat{M}\right)=tr\left(\hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi}}\right)\\
&amp;\displaystyle tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha}{{}}\left\langle\alpha\right|%
\hat{X}\left|\alpha\right\rangle\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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⟨M^⟩=⟨Ψ|M^|Ψ⟩=∑α⟨α|Ψ⟩⟨Ψ|M^|α⟩=∑α⟨α|P^ΨM^|α⟩:=tr(P^ΨM^)=tr(M^P^Ψ)trX^:=∑α⟨α|X^|α⟩
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Identifiers

  • M^
  • Ψ
  • M^
  • Ψ
  • α
  • α
  • Ψ
  • Ψ
  • M^
  • α
  • α
  • α
  • P^Ψ
  • M^
  • α
  • t
  • r
  • P^Ψ
  • M^
  • t
  • r
  • M^
  • P^Ψ
  • t
  • r
  • X^
  • α
  • α
  • X^
  • α

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