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* Page found: Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen (eq math.2413.48)

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Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen Eq: math.2413.48

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TeX (original user input):

\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle  \beta  \right|\hat{M}\left| \alpha  \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle  \alpha   |  \beta  \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle  \beta  \right|\hat{M}\left| \beta  \right\rangle

TeX (checked):

\left\langle {\hat {M}}\right\rangle =tr\left({\hat {M}}{\hat {\rho }}\right)=\sum \limits _{\alpha ,\beta }^{}{}\left\langle \beta \right|{\hat {M}}\left|\alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha |\beta \right\rangle =\sum \limits _{\beta }^{}{}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right|{\hat {M}}\left|\beta \right\rangle

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (12.566 KB / 1.85 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{\hat{M}}\right\rangle=tr\left(\hat{M}% \hat{\rho}\right)=\sum\limits_{\alpha,\beta}{{}}\left\langle\beta\right|\hat{M% }\left|\alpha\right\rangle{{P}_{\alpha}}\left\langle\alpha|\beta\right\rangle=% \sum\limits_{\beta}{{}}{{P}_{\beta}}\left\langle\beta\right|\hat{M}\left|\beta% \right\rangle}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{\hat{M}}\right\rangle=tr\left(\hat{M}%&#10;\hat{\rho}\right)=\sum\limits_{\alpha,\beta}{{}}\left\langle\beta\right|\hat{M%&#10;}\left|\alpha\right\rangle{{P}_{\alpha}}\left\langle\alpha|\beta\right\rangle=%&#10;\sum\limits_{\beta}{{}}{{P}_{\beta}}\left\langle\beta\right|\hat{M}\left|\beta%&#10;\right\rangle}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.40.cmml">
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        <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.40.2.1.1.cmml">⟨</mo>
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          <mi id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">M</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.40.2.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
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        <mo id="p1.1.m1.1.40.3.1" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.cmml">⁢</mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.40.3.2.2.cmml">(</mo>
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            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml">M</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">^</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.40.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.40.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">^</mo>
            </mover>
          </mrow>
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        </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.40.4.1" xref="p1.1.m1.1.40.4.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.40.4.1a" xref="p1.1.m1.1.40.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.4.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">α</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.4.cmml">,</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.13.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.3.cmml">β</mi>
            </mrow>
          </munder>
        </mstyle>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.40.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">β</mi>
            <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.1.cmml">|</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">M</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">^</mo>
            </mover>
            <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.1.cmml">|</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">α</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.40.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.40.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">P</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">α</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.40.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">α</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.4.1.1.cmml">|</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">β</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.4.1.1.cmml">⟩</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
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          <munder id="p1.1.m1.1.40.5.1a" xref="p1.1.m1.1.40.5.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">∑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.cmml">β</mi>
          </munder>
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            <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">P</mi>
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          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.40.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.40.5.2.1.cmml">⁢</mo>
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            </mover>
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            <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝑡</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">
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                <ci id="p1.1.m1.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2">𝑀</ci>
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              <list id="p1.1.m1.1.13.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1">𝛼</ci>
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              </list>
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                <apply id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">
                  <ci id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">^</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2">𝑀</ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝛼</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.40.4.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.3">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝑃</ci>
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              <times id="p1.1.m1.1.40.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.5.2.1"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.40.5.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.5.2.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.31">𝑃</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.32.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.32.1">𝛽</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.40.5.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.5.2.3">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.40.5.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33">quantum-operator-product</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.34">𝛽</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.36.cmml" xref="p1.1.m1.1.36">
                  <ci id="p1.1.m1.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.1">^</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.36.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2">𝑀</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">𝛽</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{\hat{M}}\right\rangle=tr\left(\hat{M}%
\hat{\rho}\right)=\sum\limits_{\alpha,\beta}{{}}\left\langle\beta\right|\hat{M%
}\left|\alpha\right\rangle{{P}_{\alpha}}\left\langle\alpha|\beta\right\rangle=%
\sum\limits_{\beta}{{}}{{P}_{\beta}}\left\langle\beta\right|\hat{M}\left|\beta%
\right\rangle}}</annotation>
  </semantics>
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⟨ \hat{M} ⟩ = t r (\hat{M} \hat{ρ}) = \sum_{α, β}^{} ⟨ β | \hat{M} | α ⟩ P_{α} ⟨ α | β ⟩ = \sum_{β}^{} P_{β} ⟨ β | \hat{M} | β ⟩

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