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U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}+kT\Psi \left( \beta ,{{\mu }_{\alpha }},V \right)

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U ⁢ ( S , V , N ¯ α ) = T ⁢ S + μ α ⁢ N ¯ α + k ⁢ T ⁢ Ψ ⁢ ( β , μ α , V ) 𝑈 𝑆 𝑉 superscript ¯ 𝑁 𝛼 𝑇 𝑆 subscript 𝜇 𝛼 superscript ¯ 𝑁 𝛼 𝑘 𝑇 Ψ 𝛽 subscript 𝜇 𝛼 𝑉 {\displaystyle{\displaystyle U\left(S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha}}\right)=TS+{{\mu% }_{\alpha}}{{\bar{N}}^{\alpha}}+kT\Psi\left(\beta,{{\mu}_{\alpha}},V\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle U\left(S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha}}\right)=TS+{{\mu%&#10;}_{\alpha}}{{\bar{N}}^{\alpha}}+kT\Psi\left(\beta,{{\mu}_{\alpha}},V\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">U</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">N</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">¯</mo>
            </mover>
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          <mo id="p1.1.m1.1.30.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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            <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">β</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">μ</mi>
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            <mo id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.1.cmml">)</mo>
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            <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑆</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">𝛽</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25">𝜇</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">𝑉</ci>
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          </apply>
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      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle U\left(S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha}}\right)=TS+{{\mu%
}_{\alpha}}{{\bar{N}}^{\alpha}}+kT\Psi\left(\beta,{{\mu}_{\alpha}},V\right)}}</annotation>
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</math>

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U(S,V,N¯α)=TS+μαN¯α+kTΨ(β,μα,V)
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>S</mi><mo>+</mo><msub><mi>&#x03BC;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msub><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mi>k</mi><mi>T</mi><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03B2;</mi><mo>,</mo><msub><mi>&#x03BC;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>V</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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