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Display information for equation id:math.2473.9 on revision:2473

* Page found: Thermodynamische Potenziale (eq math.2473.9)

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TeX (original user input): 

\begin{align}
& dF\left( T,V,N \right)=dU-TdS-SdT=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT=\mu dN-pdV-SdT \\
& {{\left( \frac{\partial F}{\partial T} \right)}_{V,N}}=-S \\
& {{\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)}_{T,N}}=-p \\
& {{\left( \frac{\partial F}{\partial N} \right)}_{T,V}}=\mu  \\
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&dF\left(T,V,N\right)=dU-TdS-SdT=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT=\mu dN-pdV-SdT\\&{{\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)}_{V,N}}=-S\\&{{\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)}_{T,N}}=-p\\&{{\left({\frac {\partial F}{\partial N}}\right)}_{T,V}}=\mu \\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (30.734 KB / 3.15 KB) :

d ⁢ F ⁢ ( T , V , N ) = d ⁢ U - T ⁢ d ⁢ S - S ⁢ d ⁢ T = T ⁢ d ⁢ S - p ⁢ d ⁢ V + μ ⁢ d ⁢ N - T ⁢ d ⁢ S - S ⁢ d ⁢ T = μ ⁢ d ⁢ N - p ⁢ d ⁢ V - S ⁢ d ⁢ T ( ∂ ⁡ F ∂ ⁡ T ) V , N = - S ( ∂ ⁡ F ∂ ⁡ V ) T , N = - p ( ∂ ⁡ F ∂ ⁡ N ) T , V = μ missing-subexpression 𝑑 𝐹 𝑇 𝑉 𝑁 𝑑 𝑈 𝑇 𝑑 𝑆 𝑆 𝑑 𝑇 𝑇 𝑑 𝑆 𝑝 𝑑 𝑉 𝜇 𝑑 𝑁 𝑇 𝑑 𝑆 𝑆 𝑑 𝑇 𝜇 𝑑 𝑁 𝑝 𝑑 𝑉 𝑆 𝑑 𝑇 missing-subexpression subscript 𝐹 𝑇 𝑉 𝑁 𝑆 missing-subexpression subscript 𝐹 𝑉 𝑇 𝑁 𝑝 missing-subexpression subscript 𝐹 𝑁 𝑇 𝑉 𝜇 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle dF\left(T,V,N\right% )=dU-TdS-SdT=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT=\mu dN-pdV-SdT\\ &\displaystyle{{\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)}_{V,N}}=-S\\ &\displaystyle{{\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_{T,N}}=-p\\ &\displaystyle{{\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)}_{T,V}}=\mu\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle dF\left(T,V,N\right%&#10;)=dU-TdS-SdT=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT=\mu dN-pdV-SdT\\&#10;&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)}_{V,N}}=-S\\&#10;&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_{T,N}}=-p\\&#10;&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)}_{T,V}}=\mu\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">F</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1.cmml">,</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">V</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">N</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">d</mi>
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              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">S</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">S</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.3.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">d</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">T</mi>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.1.1.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">-</mo>
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                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml">+</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">μ</mi>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">d</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">N</mi>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.cmml">S</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">S</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.3.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.3.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml">T</mi>
              </mrow>
            </mrow>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1.cmml">⁢</mo>
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              </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.cmml">p</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.cmml">V</mi>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">𝑇</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23">𝑑</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24">𝑆</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26">𝑝</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27">𝑑</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28">𝑉</ci>
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                  </apply>
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                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">𝜇</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31">𝑑</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32">𝑁</ci>
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                </apply>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40">𝑇</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43">𝑑</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50">𝑆</ci>
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          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">subscript</csymbol>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2">𝐹</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2">𝑇</ci>
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              </apply>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1">𝑉</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3">𝑁</ci>
              </list>
            </apply>
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              <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">𝑆</ci>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">subscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2">𝐹</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑉</ci>
                </apply>
              </apply>
              <list id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.1">𝑇</ci>
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              </list>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">
              <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7">𝑝</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1l.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">subscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.2">𝐹</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.2">𝑁</ci>
                </apply>
              </apply>
              <list id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.1">𝑇</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.3">𝑉</ci>
              </list>
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            <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6">𝜇</ci>
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        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle dF\left(T,V,N\right%
)=dU-TdS-SdT=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT=\mu dN-pdV-SdT\\
&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)}_{V,N}}=-S\\
&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_{T,N}}=-p\\
&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)}_{T,V}}=\mu\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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dF(T,V,N)=dU−TdS−SdT=TdS−pdV+μdN−TdS−SdT=μdN−pdV−SdT(∂F∂T)V,N=−S(∂F∂V)T,N=−p(∂F∂N)T,V=μ
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