<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{\hat{N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">j</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">
        <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">a</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">j</mi>
          <none id="p1.1.m1.1.9.2.2a" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.cmml"/>
          <none id="p1.1.m1.1.9.2.2b" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.cmml"/>
          <mo id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">+</mo>
        </mmultiscripts>
        <mo id="p1.1.m1.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.cmml">⁢</mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.9.2.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">a</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">j</mi>
        </msub>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">
        <eq id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">
          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">subscript</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1">^</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2">𝑁</ci>
          </apply>
          <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">𝑗</ci>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2">
          <times id="p1.1.m1.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.9.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2">superscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.9.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑎</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">𝑗</ci>
            </apply>
            <plus id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1"/>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.9.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.3">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.3">subscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑎</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">𝑗</ci>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{{\hat{N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub></mstyle><mo>=</mo><msup><msub><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>+</mo></mrow></msup><msub><mi>a</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></math>