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* Page found: Das ideale Bosegas (eq math.2561.4)

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Das ideale Bosegas Eq: math.2561.4

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TeX (original user input):

\begin{align}
  & \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln {{Y}_{j}}=-\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln \left( 1-{{t}_{j}} \right)=\frac{{{t}_{j}}}{1-{{t}_{j}}}=\frac{1}{{{t}_{j}}^{-1}-1} \\ 
 & \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \beta \left( {{E}_{j}}-\mu  \right) \right)-1}=\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu  \right)}{kT} \right)-1} \\ 
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {{Y}_{j}}=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln \left(1-{{t}_{j}}\right)={\frac {{t}_{j}}{1-{{t}_{j}}}}={\frac {1}{{{t}_{j}}^{-1}-1}}\\&\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {1}{\exp \left(\beta \left({{E}_{j}}-\mu \right)\right)-1}}={\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({{E}_{j}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (34.422 KB / 3.93 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\left\langle{{N}_{j}% }\right\rangle=\frac{\partial{{\Psi}_{j}}}{\partial\alpha}=\frac{1}{\beta}% \frac{\partial}{\partial\mu}\ln{{Y}_{j}}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{% \partial\mu}\ln\left(1-{{t}_{j}}\right)=\frac{{{t}_{j}}}{1-{{t}_{j}}}=\frac{1}% {{{t}_{j}}^{-1}-1}\\ &\displaystyle\left\langle{{N}_{j}}\right\rangle=\frac{1}{\exp\left(\beta\left% ({{E}_{j}}-\mu\right)\right)-1}=\frac{1}{\exp\left(\frac{\left({{E}_{j}}-\mu% \right)}{kT}\right)-1}\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left\langle{{N}_{j}%&#10;}\right\rangle=\frac{\partial{{\Psi}_{j}}}{\partial\alpha}=\frac{1}{\beta}%&#10;\frac{\partial}{\partial\mu}\ln{{Y}_{j}}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{%&#10;\partial\mu}\ln\left(1-{{t}_{j}}\right)=\frac{{{t}_{j}}}{1-{{t}_{j}}}=\frac{1}%&#10;{{{t}_{j}}^{-1}-1}\\&#10;&amp;\displaystyle\left\langle{{N}_{j}}\right\rangle=\frac{1}{\exp\left(\beta\left%&#10;({{E}_{j}}-\mu\right)\right)-1}=\frac{1}{\exp\left(\frac{\left({{E}_{j}}-\mu%&#10;\right)}{kT}\right)-1}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.1.cmml">⟨</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">N</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">j</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml">⁡</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.4.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.2.cmml">Ψ</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.3.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.2.cmml">α</mi>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.2.cmml">1</mn>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.3.cmml">β</mi>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml">∂</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.cmml">μ</mi>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">ln</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml">⁡</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">Y</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml">j</mi>
                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.cmml">1</mn>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml">β</mi>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml">∂</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.2.cmml">μ</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">ln</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.1.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">1</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">-</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2.1.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">t</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">j</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1.cmml">t</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.cmml">j</mi>
                </msub>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.1.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.2.cmml">-</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.3.cmml">t</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.4.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml">1</mn>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.cmml">
                  <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.1.cmml">t</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.2.1.cmml">j</mi>
                    <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6.cmml"/>
                    <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6.cmml"/>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1.1.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1.2.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </mmultiscripts>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.4.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.5.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
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      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.1.cmml">⟨</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">N</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">j</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">1</mn>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.1.cmml">exp</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.1.cmml">⁡</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.1.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.cmml">β</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.2.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.2.2.cmml">
                            <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.2.2.1.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.5.cmml">E</mi>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.6.1.cmml">j</mi>
                            </msub>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7.cmml">-</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.8.cmml">μ</mi>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.13.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
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                    </mrow>
                  </mrow>
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                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.12.cmml">1</mn>
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              </mfrac>
            </mstyle>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.1.cmml">exp</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.7.1.cmml">⁡</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.7.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.7.1.cmml">(</mo>
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.8.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.8.cmml">(</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.8.cmml">
                            <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.8.1.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.2.cmml">E</mi>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.3.1.cmml">j</mi>
                            </msub>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.4.cmml">-</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.5.cmml">μ</mi>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.2.8.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.1.cmml">k</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.3.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.2.cmml">T</mi>
                        </mrow>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.7.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.4">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.2">Ψ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.3.1">𝑗</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.2">𝛼</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.2">1</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.3">𝛽</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2">𝜇</ci>
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                </apply>
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                  <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">𝑌</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1">𝑗</ci>
                  </apply>
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                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2">1</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3">𝛽</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.2">𝜇</ci>
                    </apply>
                  </apply>
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                      <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">1</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2.1.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.2.2.1.1">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">𝑡</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1">𝑗</ci>
                      </apply>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1">𝑡</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1">𝑗</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3">
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.1">1</cn>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.5">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.3">𝑡</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.3.4.1">𝑗</ci>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2">1</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.4"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.6">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.1">𝑡</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.2.1">𝑗</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1">
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.3.1.2">1</cn>
                    </apply>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.3.5">1</cn>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.1">𝑘</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.3.3.2">𝑇</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.6">1</cn>
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            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left\langle{{N}_{j}%
}\right\rangle=\frac{\partial{{\Psi}_{j}}}{\partial\alpha}=\frac{1}{\beta}%
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\partial\mu}\ln\left(1-{{t}_{j}}\right)=\frac{{{t}_{j}}}{1-{{t}_{j}}}=\frac{1}%
{{{t}_{j}}^{-1}-1}\\
&amp;\displaystyle\left\langle{{N}_{j}}\right\rangle=\frac{1}{\exp\left(\beta\left%
({{E}_{j}}-\mu\right)\right)-1}=\frac{1}{\exp\left(\frac{\left({{E}_{j}}-\mu%
\right)}{kT}\right)-1}\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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\begin{aligned} ⟨ N_{j} ⟩ = \frac{\partial Ψ_{j}}{\partial α} = \frac{1}{β} \frac{\partial}{\partial μ} \ln Y_{j} = - \frac{1}{β} \frac{\partial}{\partial μ} \ln (1 - t_{j}) = \frac{t_{j}}{1 - t_{j}} = \frac{1}{{t_{j}}^{- 1} - 1} \\ ⟨ N_{j} ⟩ = \frac{1}{\exp (β (E_{j} - μ)) - 1} = \frac{1}{\exp (\frac{(E_{j} - μ)}{k T}) - 1} \end{aligned}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mi>N</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>&#x03B1;</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B2;</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>&#x03BC;</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><msub><mi>Y</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B2;</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>&#x03BC;</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><msub><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></msup><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mi>N</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>exp</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03B2;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msub><mi>E</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>exp</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msub><mi>E</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>j</mi></mrow></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mi>T</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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