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Display information for equation id:math.2561.5 on revision:2561

* Page found: Das ideale Bosegas (eq math.2561.5)

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Occurrences on the following pages:

Hash: 51c6ab5546790b1230dcd94a6357fddd

TeX (original user input): 

\begin{align}
  & \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{N}_{j}}p({{N}_{j}})=\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{N}_{j}}\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \\ 
 & =\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\left( \frac{1}{1-{{t}_{j}}} \right)=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\left( \frac{1}{{{\left( 1-{{t}_{j}} \right)}^{2}}} \right)=\frac{{{t}_{j}}}{\left( 1-{{t}_{j}} \right)} \\ 
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle =\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{N}_{j}}p({{N}_{j}})=\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{N}_{j}}\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}^{{N}_{j}}=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}{\frac {d}{d{{t}_{j}}}}\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{t}_{j}}^{{N}_{j}}\\&=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}{\frac {d}{d{{t}_{j}}}}\left({\frac {1}{1-{{t}_{j}}}}\right)=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}\left({\frac {1}{{\left(1-{{t}_{j}}\right)}^{2}}}\right)={\frac {{t}_{j}}{\left(1-{{t}_{j}}\right)}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (44.884 KB / 4.717 KB) :

⟨ N j ⟩ = ∑ N j = 0 ∞ N j ⁢ p ⁢ ( N j ) = ∑ N j = 0 ∞ N j ⁢ ( 1 - t j ) ⁢ t j N j = ( 1 - t j ) ⁢ t j ⁢ d d ⁢ t j ⁢ ∑ N j = 0 ∞ t j N j = ( 1 - t j ) ⁢ t j ⁢ d d ⁢ t j ⁢ ( 1 1 - t j ) = ( 1 - t j ) ⁢ t j ⁢ ( 1 ( 1 - t j ) 2 ) = t j ( 1 - t j ) missing-subexpression delimited-⟨⟩ subscript 𝑁 𝑗 superscript subscript subscript 𝑁 𝑗 0 subscript 𝑁 𝑗 𝑝 subscript 𝑁 𝑗 superscript subscript subscript 𝑁 𝑗 0 subscript 𝑁 𝑗 1 subscript 𝑡 𝑗 superscript subscript 𝑡 𝑗 subscript 𝑁 𝑗 1 subscript 𝑡 𝑗 subscript 𝑡 𝑗 𝑑 𝑑 subscript 𝑡 𝑗 superscript subscript subscript 𝑁 𝑗 0 superscript subscript 𝑡 𝑗 subscript 𝑁 𝑗 missing-subexpression absent 1 subscript 𝑡 𝑗 subscript 𝑡 𝑗 𝑑 𝑑 subscript 𝑡 𝑗 1 1 subscript 𝑡 𝑗 1 subscript 𝑡 𝑗 subscript 𝑡 𝑗 1 superscript 1 subscript 𝑡 𝑗 2 subscript 𝑡 𝑗 1 subscript 𝑡 𝑗 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\left\langle{{N}_{j}% }\right\rangle=\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty}{{}}{{N}_{j}}p({{N}_{j}})=% \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty}{{}}{{N}_{j}}\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j% }}^{{{N}_{j}}}=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\sum% \limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty}{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}\\ &\displaystyle=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\left(% \frac{1}{1-{{t}_{j}}}\right)=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}\left(\frac{1}{{% {\left(1-{{t}_{j}}\right)}^{2}}}\right)=\frac{{{t}_{j}}}{\left(1-{{t}_{j}}% \right)}\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left\langle{{N}_{j}%&#10;}\right\rangle=\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty}{{}}{{N}_{j}}p({{N}_{j}})=%&#10;\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty}{{}}{{N}_{j}}\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j%&#10;}}^{{{N}_{j}}}=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\sum%&#10;\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty}{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}\\&#10;&amp;\displaystyle=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\left(%&#10;\frac{1}{1-{{t}_{j}}}\right)=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}\left(\frac{1}{{%&#10;{\left(1-{{t}_{j}}\right)}^{2}}}\right)=\frac{{{t}_{j}}}{\left(1-{{t}_{j}}%&#10;\right)}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.1.1.cmml">⟨</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">N</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">j</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">∑</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.5.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1.cmml">N</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3.cmml">=</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4.cmml">0</mn>
                  </mrow>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml">∞</mi>
                </munderover>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">N</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">j</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">p</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.3.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.3.2.cmml">(</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.3.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">N</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.3.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">∑</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.5.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1.cmml">N</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.2.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.3.cmml">=</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.4.cmml">0</mn>
                  </mrow>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">∞</mi>
                </munderover>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">N</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">j</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">1</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">-</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">t</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">t</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml">j</mi>
                  <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4.cmml"/>
                  <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4.cmml"/>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml">N</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.2.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                </mmultiscripts>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.cmml">-</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml">t</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">t</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.1.cmml">j</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.2.cmml">d</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.1.cmml">d</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.4.cmml">⁢</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.5.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.2.cmml">t</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.3.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1.cmml">
                  <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1.cmml">
                    <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml">∑</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1.cmml">N</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2.1.cmml">j</mi>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3.cmml">=</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4.cmml">0</mn>
                    </mrow>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.cmml">∞</mi>
                  </munderover>
                </mstyle>
                <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml">t</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.cmml">j</mi>
                  <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.2.cmml"/>
                  <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.2b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.2.cmml"/>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.1.cmml">N</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.2.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                </mmultiscripts>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">-</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">t</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">t</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml">j</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">d</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.1.cmml">d</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.4.cmml">⁢</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.5.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml">t</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">(</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">1</mn>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.cmml">1</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.cmml">-</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.cmml">t</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.4.1.cmml">j</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">-</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">t</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">t</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml">j</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">(</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2.cmml">1</mn>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.9.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.9.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.9.2.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.2.cmml">1</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.3.cmml">-</mo>
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.9.2.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.4.cmml">t</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.5.1.cmml">j</mi>
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                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.9.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.3.7.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                  </mfrac>
                </mstyle>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml">
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1.cmml">t</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2.1.cmml">j</mi>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.3.3.cmml">-</mo>
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                    </msub>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">𝑁</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">𝑁</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1">𝑗</ci>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3">
                    <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24"/>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.3.2.1">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25">𝑡</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1">𝑗</ci>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.2.4">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28">𝑡</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1">𝑗</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1">𝑁</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.2.1">𝑗</ci>
                    </apply>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35">𝑡</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1">𝑗</ci>
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                </apply>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.3">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38">𝑡</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.1">𝑗</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.2">𝑑</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.4"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.1">𝑑</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.5">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.5">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.2">𝑡</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.3.3.1">𝑗</ci>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.1">subscript</csymbol>
                      <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41"/>
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                        <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3"/>
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.5">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1">𝑁</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2.1">𝑗</ci>
                        </apply>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.4">0</cn>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.4.2">
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.1">𝑁</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29">absent</csymbol>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">1</cn>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.2.1">subscript</csymbol>
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⟨Nj⟩=∑Nj=0∞Njp(Nj)=∑Nj=0∞Nj(1−tj)tjNj=(1−tj)tjddtj∑Nj=0∞tjNj=(1−tj)tjddtj(11−tj)=(1−tj)tj(1(1−tj)2)=tj(1−tj)
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