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* Page found: Das Photonengas im Strahlungshohlraum (eq math.2569.10)

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Das Photonengas im Strahlungshohlraum Eq: math.2569.10

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TeX (original user input):

\begin{align}

& \bar{N}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\hbar \omega \left( q \right)}{kT} \right)-1}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{q}} \right\rangle  \\

& U=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\frac{\hbar \omega \left( q \right)}{\exp \left( \frac{\hbar \omega \left( q \right)}{kT} \right)-1} \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&{\bar {N}}=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega \left(q\right)}{kT}}\right)-1}}=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}\left\langle {{N}_{q}}\right\rangle \\&U=2\sum \limits _{\bar {q}}^{}{}{\frac {\hbar \omega \left(q\right)}{\exp \left({\frac {\hbar \omega \left(q\right)}{kT}}\right)-1}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (23.359 KB / 2.661 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\bar{N}=2\sum% \limits_{{\bar{q}}}{{}}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar\omega\left(q\right)}{kT}% \right)-1}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}{{}}\left\langle{{N}_{q}}\right\rangle\\ \par&\displaystyle U=2\sum\limits_{{\bar{q}}}{{}}\frac{\hbar\omega\left(q% \right)}{\exp\left(\frac{\hbar\omega\left(q\right)}{kT}\right)-1}\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\bar{N}=2\sum%&#10;\limits_{{\bar{q}}}{{}}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar\omega\left(q\right)}{kT}%&#10;\right)-1}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}{{}}\left\langle{{N}_{q}}\right\rangle\\&#10;\par&amp;\displaystyle U=2\sum\limits_{{\bar{q}}}{{}}\frac{\hbar\omega\left(q%&#10;\right)}{\exp\left(\frac{\hbar\omega\left(q\right)}{kT}\right)-1}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">N</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">¯</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml">
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                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.2.cmml">q</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                  </munder>
                </mstyle>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml">1</mn>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1.cmml">exp</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.1.cmml">⁡</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.1.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.1.cmml">(</mo>
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.cmml">
                              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.1.cmml">ℏ</mi>
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                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.2.cmml">ω</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.6a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.6.cmml">⁢</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.cmml">
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.cmml">(</mo>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.4.cmml">q</mi>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                            </mrow>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.1.cmml">k</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.3.cmml">⁢</mo>
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                            </mrow>
                          </mfrac>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.1.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.5.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.6.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">2</mn>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1.cmml">
                  <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1.cmml">
                    <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">∑</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1.2.cmml">q</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                  </munder>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">N</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">q</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">U</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1.cmml">
                  <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1.cmml">
                    <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">∑</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.1.2.cmml">q</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.1.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                  </munder>
                </mstyle>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
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                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.1.cmml">ℏ</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.2.cmml">ω</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.6.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">(</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.4.cmml">q</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.1.cmml">exp</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7.1.cmml">⁡</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7.1.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7.1.cmml">(</mo>
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.cmml">
                              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.1.cmml">ℏ</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.6.cmml">⁢</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.2.cmml">ω</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.6.cmml">⁢</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.cmml">
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.cmml">(</mo>
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                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                            </mrow>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.3.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.3.1.cmml">k</mi>
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                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.3.2.cmml">T</mi>
                            </mrow>
                          </mfrac>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.7.1.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.5.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.6.cmml">1</mn>
                    </mrow>
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      </mtr>
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              </apply>
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                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">2</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1">subscript</csymbol>
                    <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.2">𝑞</ci>
                    </apply>
                  </apply>
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                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2">1</cn>
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                      <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.5"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.7.2">
                        <exp id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3">
                          <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2">
                            <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.6"/>
                            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.1">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.1">𝑘</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.2">𝑇</ci>
                          </apply>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.6">1</cn>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1">subscript</csymbol>
                    <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9"/>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.1.1">¯</ci>
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                    </apply>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">delimited-⟨⟩</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝑁</ci>
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                        <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3"/>
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                          <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.6"/>
                          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.2.1">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.3.3">
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\bar{N}=2\sum%
\limits_{{\bar{q}}}{{}}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar\omega\left(q\right)}{kT}%
\right)-1}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}{{}}\left\langle{{N}_{q}}\right\rangle\\
\par&amp;\displaystyle U=2\sum\limits_{{\bar{q}}}{{}}\frac{\hbar\omega\left(q%
\right)}{\exp\left(\frac{\hbar\omega\left(q\right)}{kT}\right)-1}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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\begin{aligned} \bar{N} = 2 \sum_{\bar{q}}^{} \frac{1}{\exp (\frac{ℏ ω (q)}{k T}) - 1} = 2 \sum_{\bar{q}}^{} ⟨ N_{q} ⟩ \\ U = 2 \sum_{\bar{q}}^{} \frac{ℏ ω (q)}{\exp (\frac{ℏ ω (q)}{k T}) - 1} \end{aligned}

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