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Display information for equation id:math.2573.28 on revision:2573

* Page found: Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase (eq math.2573.28)

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TeX (original user input): 

\begin{align}

& {{Z}_{r}}\approx 1+3\exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \\

& \ln {{Z}_{r}}\approx 3\exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \\

& \Rightarrow {{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}\frac{\partial }{\partial T}\left( 3\exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \right)=6Nk{{\Theta }_{r}}\left( \exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \right) \\

& \Rightarrow {{c}_{vr}}=12R{{\left( \frac{{{\Theta }_{r}}}{T} \right)}^{2}}\exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \\

\end{align}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (38.014 KB / 4.282 KB) :

Z r ≈ 1 + 3 ⁢ exp ⁡ ( - 2 ⁢ Θ r T ) ln ⁡ Z r ≈ 3 ⁢ exp ⁡ ( - 2 ⁢ Θ r T ) ⇒ U r ≈ N ⁢ k ⁢ T 2 ⁢ ∂ ∂ ⁡ T ⁢ ( 3 ⁢ exp ⁡ ( - 2 ⁢ Θ r T ) ) = 6 ⁢ N ⁢ k ⁢ Θ r ⁢ ( exp ⁡ ( - 2 ⁢ Θ r T ) ) ⇒ c v ⁢ r = 12 ⁢ R ⁢ ( Θ r T ) 2 ⁢ exp ⁡ ( - 2 ⁢ Θ r T ) absent subscript 𝑍 𝑟 1 3 2 subscript Θ 𝑟 𝑇 absent subscript 𝑍 𝑟 3 2 subscript Θ 𝑟 𝑇 absent ⇒ absent subscript 𝑈 𝑟 𝑁 𝑘 superscript 𝑇 2 𝑇 3 2 subscript Θ 𝑟 𝑇 6 𝑁 𝑘 subscript Θ 𝑟 2 subscript Θ 𝑟 𝑇 absent ⇒ absent subscript 𝑐 𝑣 𝑟 12 𝑅 superscript subscript Θ 𝑟 𝑇 2 2 subscript Θ 𝑟 𝑇 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle{{Z}_{r}}\approx 1% +3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\\ \par&\displaystyle\ln{{Z}_{r}}\approx 3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}% \right)\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}\frac{\partial}{% \partial T}\left(3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)=6Nk{{% \Theta}_{r}}\left(\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{c}_{vr}}=12R{{\left(\frac{{{\Theta}_{r}}}{T}% \right)}^{2}}\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle{{Z}_{r}}\approx&#10;1%&#10;+3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle\ln{{Z}_{r}}\approx 3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}%&#10;\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}\frac{\partial}{%&#10;\partial T}\left(3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)=6Nk{{%&#10;\Theta}_{r}}\left(\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{c}_{vr}}=12R{{\left(\frac{{{\Theta}_{r}}}{T}%&#10;\right)}^{2}}\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">Z</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">r</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">≈</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">3</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">exp</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">-</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1.cmml">2</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.4.cmml">⁢</mo>
                            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5.cmml">
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                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.1.cmml">r</mi>
                            </msub>
                          </mrow>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml">T</mi>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">ln</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">⁡</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">Z</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">r</mi>
              </msub>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">≈</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">3</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml">⁢</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">exp</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">⁡</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">-</mo>
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                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml">2</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4.cmml">⁢</mo>
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.cmml">
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                          </msub>
                        </mrow>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml">T</mi>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">r</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">≈</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.cmml">
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1.cmml">⁢</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">T</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.cmml">∂</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2.cmml">T</mi>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1c" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">3</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">exp</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml">⁡</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">-</mo>
                        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.cmml">
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.1.cmml">2</mn>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.4.cmml">⁢</mo>
                              <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.5.cmml">
                                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.2.cmml">Θ</mi>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.3.1.cmml">r</mi>
                              </msub>
                            </mrow>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.3.cmml">T</mi>
                          </mfrac>
                        </mstyle>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">6</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">N</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml">Θ</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.1.cmml">r</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1c" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml">exp</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.cmml">-</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.1.cmml">2</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.4.cmml">⁢</mo>
                            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.5.cmml">
                              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.2.cmml">Θ</mi>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.3.1.cmml">r</mi>
                            </msub>
                          </mrow>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.3.cmml">T</mi>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">c</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.1.cmml">v</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.2.cmml">r</mi>
              </mrow>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">12</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">R</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.cmml">
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.1.cmml">Θ</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.2.1.cmml">r</mi>
                      </msub>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.cmml">T</mi>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1b" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">exp</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.cmml">-</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.1.cmml">2</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.4.cmml">⁢</mo>
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.5.cmml">
                            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.2.cmml">Θ</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.3.1.cmml">r</mi>
                          </msub>
                        </mrow>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.3.cmml">T</mi>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <approx id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑍</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1">𝑟</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">
              <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">1</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1">
                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">3</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2">
                  <exp id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7"/>
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                    <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9"/>
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1">2</cn>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2">Θ</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.1">𝑟</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3">𝑇</ci>
                    </apply>
                  </apply>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑍</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1">𝑟</ci>
              </apply>
            </apply>
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              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">3</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2">
                <exp id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1">
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1">2</cn>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2">Θ</ci>
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                      </apply>
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        </matrixrow>
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          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1">absent</csymbol>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5">𝑁</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6">𝑘</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.2">superscript</csymbol>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1">2</cn>
                </apply>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6">12</cn>
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                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3">𝑇</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1">2</cn>
                </apply>
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                    <minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14"/>
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.1">2</cn>
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.5">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.2">Θ</ci>
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1%
+3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\\
\par&amp;\displaystyle\ln{{Z}_{r}}\approx 3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}%
\right)\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}\frac{\partial}{%
\partial T}\left(3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)=6Nk{{%
\Theta}_{r}}\left(\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{c}_{vr}}=12R{{\left(\frac{{{\Theta}_{r}}}{T}%
\right)}^{2}}\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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Z r ≈ 1 + 3 exp ⁡ ( − 2 Θ r T ) ln ⁡ Z r ≈ 3 exp ⁡ ( − 2 Θ r T ) ⇒ U r ≈ N k T 2 ∂ ∂ T ( 3 exp ⁡ ( − 2 Θ r T ) ) = 6 N k Θ r ( exp ⁡ ( − 2 Θ r T ) ) ⇒ c v r = 12 R ( Θ r T ) 2 exp ⁡ ( − 2 Θ r T ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{{Z}_{r}}\approx 1+3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\&\ln {{Z}_{r}}\approx 3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\&\Rightarrow {{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}{\frac {\partial }{\partial T}}\left(3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\right)=6Nk{{\Theta }_{r}}\left(\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\right)\\&\Rightarrow {{c}_{vr}}=12R{{\left({\frac {{\Theta }_{r}}{T}}\right)}^{2}}\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;{{Z}_{r}}\approx 1+3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\&amp;\ln {{Z}_{r}}\approx 3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\&amp;\Rightarrow {{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}{\frac {\partial }{\partial T}}\left(3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\right)=6Nk{{\Theta }_{r}}\left(\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\right)\\&amp;\Rightarrow {{c}_{vr}}=12R{{\left({\frac {{\Theta }_{r}}{T}}\right)}^{2}}\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\\end{aligned}}}">
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