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{{U}_{\omega }}=\left( \left\langle {{n}_{\omega }} \right\rangle +\frac{1}{2} \right)\hbar \omega =\left( \frac{1}{{{e}^{\beta \hbar \omega }}-1}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega

TeX (checked): 

{{U}_{\omega }}=\left(\left\langle {{n}_{\omega }}\right\rangle +{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega =\left({\frac {1}{{{e}^{\beta \hbar \omega }}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega

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U ω = ( ⟨ n ω ⟩ + 1 2 ) ⁢ ℏ ⁢ ω = ( 1 e β ⁢ ℏ ⁢ ω - 1 + 1 2 ) ⁢ ℏ ⁢ ω subscript 𝑈 𝜔 delimited-⟨⟩ subscript 𝑛 𝜔 1 2 Planck-constant-over-2-pi 𝜔 1 superscript 𝑒 𝛽 Planck-constant-over-2-pi 𝜔 1 1 2 Planck-constant-over-2-pi 𝜔 {\displaystyle{\displaystyle{{U}_{\omega}}=\left(\left\langle{{n}_{\omega}}% \right\rangle+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=\left(\frac{1}{{{e}^{\beta\hbar% \omega}}-1}+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{U}_{\omega}}=\left(\left\langle{{n}_{\omega}}%&#10;\right\rangle+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=\left(\frac{1}{{{e}^{\beta\hbar%&#10;\omega}}-1}+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">U</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">ω</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.2.cmml">(</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.2.1.1.1.cmml">⟨</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.22.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.2.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">n</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">ω</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.2.1.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.10a" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">1</mn>
                <mn id="p1.1.m1.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.10.3.cmml">2</mn>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.22.3.1" xref="p1.1.m1.1.22.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">ℏ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.22.3.1a" xref="p1.1.m1.1.22.3.1.cmml">⁢</mo>
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      </mrow>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.22.4.2" xref="p1.1.m1.1.22.4.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.22.4.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.22.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.22.4.2.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.16a" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.1.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.16.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.16.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.1.1.cmml">β</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.16.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.1.4.cmml">⁢</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.16.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.1.2.cmml">ℏ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.16.3.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.1.4.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.16.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.1.3.cmml">ω</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.16.3.3" xref="p1.1.m1.1.16.3.3.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.16.3.4" xref="p1.1.m1.1.16.3.4.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.18a" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">1</mn>
                <mn id="p1.1.m1.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.18.3.cmml">2</mn>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.22.4.2.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.22.4.1" xref="p1.1.m1.1.22.4.1.cmml">⁢</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">ℏ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.22.4.1a" xref="p1.1.m1.1.22.4.1.cmml">⁢</mo>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.16.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3.5">superscript</csymbol>
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                      <times id="p1.1.m1.1.16.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.1.4"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.16.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.1.1">𝛽</ci>
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\omega}}-1}+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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Uω=(⟨nω⟩+12)ℏω=(1eβℏω−1+12)ℏω
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03C9;</mi></mrow></msub></mstyle><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mi>n</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03C9;</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mi>&#x03C9;</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B2;</mi><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mi>&#x03C9;</mi></mrow></mrow></msup><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mi>&#x03C9;</mi></mrow></math>

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In Maple:

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In Mathematica:

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Calculated based on the variables occurring on the entire Spezifische Wärme von Festkörpern page

Identifiers

  • Uω
  • nω
  • ω
  • e
  • β
  • ω
  • ω

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