Spezifische Wärme von Festkörpern

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Spezifische Wärme von Festkörpern basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 6) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Spezifische Wärme von Festkörpern

Einsteinsche Theorie (1907):

Jedes Molekül des Festkörpers ist harmonisch an seine Ruhelage gebunden, mit gleicher Frequenz $ω$

Also: Pro Mol 3Na harmonische Oszillatoren (3 kartesische Koordinaten!)

Nach Parapgraph 5.5:

\begin{matrix} c_{V s} = 3 N_{A} \frac{\partial}{\partial T} (\frac{1}{[\exp (\frac{ℏ ω}{k T}) - 1]} + \frac{1}{2}) ℏ ω = 3 R \frac{{(\frac{Θ_{S}}{T})}^{2} e^{(\frac{Θ_{S}}{T})}}{{(e^{(\frac{Θ_{S}}{T})} - 1)}^{2}} \\ Θ_{S} := \frac{ℏ ω}{k} \end{matrix}

Damit ergibt sich beispielsweise für Diamant:

Wobei im Nullbereich für kleine Temperaturen:

\begin{matrix} c_{V s} \tilde{} e^{- (\frac{Θ_{S}}{T})} \\ Θ_{S} := \frac{ℏ ω}{k} \end{matrix}

Ansonsten:

\begin{matrix} T > > Θ_{S} \\ \Rightarrow c_{v s} - > 3 R \end{matrix}

Bemerkung:

Experimentell gilt jedoch für tiefe Temperaturen nicht $\begin{matrix} c_{V s} \tilde{} e^{- (\frac{Θ_{S}}{T})} \\ Θ_{S} := \frac{ℏ ω}{k} \end{matrix}$

sondern

c_{V s} \tilde{} T^{3}

!

Debyesche Theorie (1911):

Kopplung der Moleküle untereinander

Festkörper als elastisches Medium mit stehenden Wellen, die der Dispersion unterliegen:

ω = ω (\bar{k})

Interpretation der Schwingungsquanten als Quasiteilchen (Bosonen): Phononen!

Dispersionsrelation

Es existieren 3 Zweige (1 longitudinale, 2 transversale Schallwellen (entsprechen akustischen Phononen)

\begin{matrix} ω = ω (\bar{k}) := ω (\bar{q}) \\ ω (\bar{q}) = v_{L} q (L A) \\ ω (\bar{q}) = v_{T} q (T A) \end{matrix}

Das Spektrum wird bei $q = q_{D}$

so abgeschnitten, dass die Zahl der Freiheitsgrade gerade 3N ist (N Gitterpunkte)!

Zustandsdichte des Phononengases (vergl. Photonengas, S. 145)

\begin{matrix} \sum_{\bar{q}}^{} - > \frac{V}{h^{3}} \int_{}^{} d^{3} (ℏ \bar{q}) = \frac{4 π V}{{(2 π)}^{3}} \int_{0}^{q_{D}} d q q^{2} = \frac{4 π V}{{(2 π)}^{3}} (\frac{1}{{v_{L}}^{3}} + \frac{2}{{v_{T}}^{3}}) \int_{0}^{ω_{D}} d ω ω^{2} \\ (\frac{1}{{v_{L}}^{3}} + \frac{2}{{v_{T}}^{3}}) \tilde{} \frac{3}{{\bar{v}}^{3}} \\ \Rightarrow 3 N =! = \frac{4 π V}{{(2 π)}^{3}} (\frac{1}{{v_{L}}^{3}} + \frac{2}{{v_{T}}^{3}}) \int_{0}^{ω_{D}} d ω ω^{2} = \frac{4 π V}{{(2 π)}^{3}} \frac{3}{{\bar{v}}^{3}} \int_{0}^{ω_{D}} d ω ω^{2} = \frac{4 π V}{{(2 π)}^{3}} \frac{{ω_{D}}^{3}}{{\bar{v}}^{3}} \end{matrix}

Dabei ist

ω_{D}

die mittlere Abschneidefrequenz (= Debye- Frequenz)

Nach § 5.5 trägt jede Frequenz mit

U_{ω} = (⟨ n_{ω} ⟩ + \frac{1}{2}) ℏ ω = (\frac{1}{e^{β ℏ ω} - 1} + \frac{1}{2}) ℏ ω

zur inneren Energie bei!

Also ergibt sich als gesamte innere Energie:

U = \frac{9 N}{{ω_{D}}^{3}} \int_{0}^{ω_{D}} d ω ω^{2} (\frac{1}{e^{β ℏ ω} - 1} + \frac{1}{2}) ℏ ω

Mit der Debye- Temperatur

Θ_{D} := \frac{ℏ ω_{D}}{k}

folgt:

\begin{matrix} U = 9 N k T Ψ (\frac{Θ_{D}}{T}) + U_{0} \\ Ψ (ξ) := \frac{1}{ξ^{3}} \int_{0}^{ξ} d x \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} \\ ξ = \frac{Θ_{D}}{T} \end{matrix}

Typische Debye- Temperaturen:

Diamant: $Θ_{D} = 1860 K$

→ ungewöhnlich hoch → Quanteneffekte beobachtbar!

Aluminium: $Θ_{D} = 390 K$

Blei: $Θ_{D} = 88 K$

Näherungen:

\begin{matrix} T < < Θ_{D} \\ ξ > > 1 \\ \Rightarrow Ψ (ξ) := \frac{1}{ξ^{3}} \int_{0}^{ξ} d x \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} \approx \frac{1}{ξ^{3}} \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = \frac{1}{ξ^{3}} \frac{π^{4}}{15} \\ U = 9 \frac{π^{4}}{15} N k T {(\frac{T}{Θ_{D}})}^{3} \\ \Rightarrow C_{V} = \frac{\partial U}{\partial T} = \frac{36}{15} π^{4} N k {(\frac{T}{Θ_{D}})}^{3} \\ c_{v} = \frac{12}{5} π^{4} R {(\frac{T}{Θ_{D}})}^{3} \end{matrix}

extremer Quantenlimes der spezifischen Wärmekapazität, entsprechend dem experimentell beobachteten Tieftemperaturverhalten!

\begin{matrix} T > > Θ_{D} \\ ξ < < 1 \\ \Rightarrow Ψ (ξ) \approx \frac{1}{ξ^{3}} \int_{0}^{ξ} d x \frac{x^{3}}{x} = \frac{1}{3} \\ U = 3 N k T \\ c_{v} = 3 R \end{matrix}

Gesetz von Dulong- Petit (klassisch)

Nebenbemerkung

Falls mehr als Ein Atom in der Elementarzelle des Gitters sitzt, so existieren weitere Zweige der Dispersionsrelation! (optische Phononen). Diese können mit der Einsteinschen Theorie

ω (q) = c o n s t .

besser beschrieben werden!

Spezifische Wärme von Festkörpern

Inhaltsverzeichnis

Spezifische Wärme von Festkörpern

Einsteinsche Theorie (1907):

Debyesche Theorie (1911):

Zustandsdichte des Phononengases (vergl. Photonengas, S. 145)

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Spezifische Wärme von Festkörpern

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Einsteinsche Theorie (1907):

Debyesche Theorie (1911):

Zustandsdichte des Phononengases (vergl. Photonengas, S. 145)

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