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* Page found: Spezifische Wärme von Festkörpern (eq math.2577.12)

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Spezifische Wärme von Festkörpern Eq: math.2577.12

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TeX (original user input):

U=\frac{9N}{{{\omega }_{D}}^{3}}\int_{0}^{{{\omega }_{D}}}{{}}d\omega {{\omega }^{2}}\left( \frac{1}{{{e}^{\beta \hbar \omega }}-1}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega

TeX (checked):

U={\frac {9N}{{{\omega }_{D}}^{3}}}\int _{0}^{{\omega }_{D}}{}d\omega {{\omega }^{2}}\left({\frac {1}{{{e}^{\beta \hbar \omega }}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (11.112 KB / 1.747 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle U=\frac{9N}{{{\omega}_{D}}^{3}}\int_{0}^{{{\omega% }_{D}}}{{}}d\omega{{\omega}^{2}}\left(\frac{1}{{{e}^{\beta\hbar\omega}}-1}+% \frac{1}{2}\right)\hbar\omega}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle U=\frac{9N}{{{\omega}_{D}}^{3}}\int_{0}^{{{\omega%&#10;}_{D}}}{{}}d\omega{{\omega}^{2}}\left(\frac{1}{{{e}^{\beta\hbar\omega}}-1}+%&#10;\frac{1}{2}\right)\hbar\omega}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">U</mi>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.cmml">9</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml">N</mi>
            </mrow>
            <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">ω</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml">D</mi>
              <none id="p1.1.m1.1.3.3a" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml"/>
              <none id="p1.1.m1.1.3.3b" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml"/>
              <mn id="p1.1.m1.1.3.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.1.cmml">3</mn>
            </mmultiscripts>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.18.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.18.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">0</mn>
              <msub id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml">ω</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.6.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.cmml">D</mi>
              </msub>
            </msubsup>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2.cmml">
              <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">𝑑</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">ω</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">ω</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">2</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.4.2.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.4.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.4.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">1</mn>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.12.3.5" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.cmml">e</mi>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.12.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.1.1.cmml">β</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.12.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.1.4.cmml">⁢</mo>
                          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.12.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.1.2.cmml">ℏ</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.12.3.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.1.4.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.12.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.1.3.cmml">ω</mi>
                        </mrow>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.12.3.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.4.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">+</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.14a" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">1</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.cmml">2</mn>
                  </mfrac>
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            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">ℏ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.1c" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2">1</cn>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle U=\frac{9N}{{{\omega}_{D}}^{3}}\int_{0}^{{{\omega%
}_{D}}}{{}}d\omega{{\omega}^{2}}\left(\frac{1}{{{e}^{\beta\hbar\omega}}-1}+%
\frac{1}{2}\right)\hbar\omega}}</annotation>
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U = \frac{9 N}{{ω_{D}}^{3}} \int_{0}^{ω_{D}} d ω ω^{2} (\frac{1}{e^{β ℏ ω} - 1} + \frac{1}{2}) ℏ ω

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