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\int{{{\Psi }^{*}}\left( \underline{x},t \right)\hat{O}\left( \underline{x},\underline{\nabla },{{\partial }_{t}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}x}=\text{invariant}

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∫ Ψ * ⁢ ( x ¯ , t ) ⁢ O ^ ⁢ ( x ¯ , ∇ ¯ , ∂ t ) ⁢ Ψ ⁢ ( x ¯ , t ) ⁢ d d ⁢ x = invariant superscript Ψ ¯ 𝑥 𝑡 ^ 𝑂 ¯ 𝑥 ¯ ∇ subscript 𝑡 Ψ ¯ 𝑥 𝑡 superscript 𝑑 𝑑 𝑥 invariant {\displaystyle{\displaystyle\int{{{\Psi}^{*}}\left(\underline{x},t\right)\hat{% O}\left(\underline{x},\underline{\nabla},{{\partial}_{t}}\right)\Psi\left(% \underline{x},t\right){{d}^{d}}x}=\text{invariant}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\int{{{\Psi}^{*}}\left(\underline{x},t\right)\hat{%&#10;O}\left(\underline{x},\underline{\nabla},{{\partial}_{t}}\right)\Psi\left(%&#10;\underline{x},t\right){{d}^{d}}x}=\text{invariant}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.29.1a" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">
          <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∫</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.29.1.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.29.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.2.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">Ψ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">*</mo>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.29.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.29.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.3.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.3.1.cmml">(</mo>
              <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.cmml">x</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">¯</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.29.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">O</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">^</mo>
            </mover>
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                <mi id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">x</mi>
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              </munder>
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            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.29.1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">Ψ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.29.1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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              <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">x</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">¯</mo>
              </munder>
              <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.5.1.cmml">,</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">t</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.5.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.29.1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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            </msup>
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          </mrow>
        </mrow>
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        </ci>
      </apply>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\int{{{\Psi}^{*}}\left(\underline{x},t\right)\hat{%
O}\left(\underline{x},\underline{\nabla},{{\partial}_{t}}\right)\Psi\left(%
\underline{x},t\right){{d}^{d}}x}=\text{invariant}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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∫Ψ*(x_,t)O^(x_,∇_,∂t)Ψ(x_,t)ddx=invariant
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mo texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>*</mo></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><munder><mi>x</mi><mo>_</mo></munder></mrow><mo>,</mo><mi>t</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>O</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><munder><mi>x</mi><mo>_</mo></munder></mrow><mo>,</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><munder><mi mathvariant="normal">&#x2207;</mi><mo>_</mo></munder></mrow><mo>,</mo><msub><mi>&#x2202;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>t</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><munder><mi>x</mi><mo>_</mo></munder></mrow><mo>,</mo><mi>t</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><msup><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi></mrow></msup><mi>x</mi></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext>invariant</mtext></mrow></mstyle></mrow></math>

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