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Display information for equation id:math.2710.118 on revision:2710

* Page found: Formaler Aufbau der Quantenmechanik (eq math.2710.118)

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TeX (original user input): 

{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( 0 \right){{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\,\left| \hat{A}\, \right|\,{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\Psi \left( 0 \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{\tilde{A}}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle

TeX (checked): 

{{\left\langle {\hat {A}}\right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left(0\right){{e}^{{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}\,\left|{\hat {A}}\,\right|\,{{e}^{-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}\Psi \left(0\right)\right\rangle =\left\langle \Psi \left(0\right)\,\underbrace {\left|{{e}^{{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}{\hat {A}}{{e}^{-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}\right|} _{\tilde {A}}\,\Psi \left(0\right)\right\rangle

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (19.668 KB / 2.633 KB) :

⟨ A ^ ⟩ t = ⟨ Ψ ⁢ ( 0 ) ⁢ e 𝔦 ⁢ H ^ ⁢ t | A ^ | e - 𝔦 ⁢ H ^ ⁢ t ⁢ Ψ ⁢ ( 0 ) ⟩ = ⟨ Ψ ⁢ ( 0 ) ⁢ | e 𝔦 ⁢ H ^ ⁢ t ⁢ A ^ ⁢ e - 𝔦 ⁢ H ^ ⁢ t | ⏟ A ~ ⁢ Ψ ⁢ ( 0 ) ⟩ subscript delimited-⟨⟩ ^ 𝐴 𝑡 quantum-operator-product Ψ 0 superscript 𝑒 𝔦 ^ 𝐻 𝑡 ^ 𝐴 superscript 𝑒 𝔦 ^ 𝐻 𝑡 Ψ 0 delimited-⟨⟩ Ψ 0 subscript ⏟ superscript 𝑒 𝔦 ^ 𝐻 𝑡 ^ 𝐴 superscript 𝑒 𝔦 ^ 𝐻 𝑡 ~ 𝐴 Ψ 0 {\displaystyle{\displaystyle{{\left\langle{\hat{A}}\right\rangle}_{t}}=\left% \langle\Psi\left(0\right){{e}^{\mathfrak{i}\hat{H}t}}\,\left|\hat{A}\,\right|% \,{{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}}\Psi\left(0\right)\right\rangle=\left\langle% \Psi\left(0\right)\,\underbrace{\left|{{e}^{\mathfrak{i}\hat{H}t}}\hat{A}{{e}^% {-\mathfrak{i}\hat{H}t}}\right|}_{\tilde{A}}\,\Psi\left(0\right)\right\rangle}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{\left\langle{\hat{A}}\right\rangle}_{t}}=\left%&#10;\langle\Psi\left(0\right){{e}^{\mathfrak{i}\hat{H}t}}\,\left|\hat{A}\,\right|%&#10;\,{{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}}\Psi\left(0\right)\right\rangle=\left\langle%&#10;\Psi\left(0\right)\,\underbrace{\left|{{e}^{\mathfrak{i}\hat{H}t}}\hat{A}{{e}^%&#10;{-\mathfrak{i}\hat{H}t}}\right|}_{\tilde{A}}\,\Psi\left(0\right)\right\rangle}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.41.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.41.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">A</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">^</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.41.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
        <mi id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">t</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.41.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.41.3.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">Ψ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.41.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.cmml">(</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">0</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.41.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.41.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.3.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.41.3.2.3a" xref="p1.1.m1.1.41.3.2.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">e</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">𝔦</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.12.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.12.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2.cmml">H</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.1.cmml">^</mo>
                </mover>
                <mo id="p1.1.m1.1.12.1.4a" xref="p1.1.m1.1.12.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.12.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.cmml">t</mi>
              </mrow>
            </msup>
          </mpadded>
        </mrow>
        <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.41.3.1.1.cmml">|</mo>
        <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.15a" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.cmml">A</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">^</mo>
          </mover>
        </mpadded>
        <mo fence="true" rspace="4.2pt" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.41.3.1.1.cmml">|</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.3.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.41.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.41.3.3.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">e</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.20.1.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.5" xref="p1.1.m1.1.20.1.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.20.1.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.cmml">𝔦</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.20.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.20.1.3" xref="p1.1.m1.1.20.1.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.20.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.3.2.cmml">H</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.3.1.cmml">^</mo>
                </mover>
                <mo id="p1.1.m1.1.20.1.5.1a" xref="p1.1.m1.1.20.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.20.1.4" xref="p1.1.m1.1.20.1.4.cmml">t</mi>
              </mrow>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.41.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.41.3.3.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">Ψ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.41.3.3.1a" xref="p1.1.m1.1.41.3.3.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.41.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.3.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.41.3.3.cmml">(</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">0</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.41.3.3.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.41.3.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.41.4" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.41.4.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.2" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">Ψ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.41.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.41.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.cmml">(</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">0</mn>
            <mo rspace="4.2pt" id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.41.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.41.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.3.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.41.4.2.3a" xref="p1.1.m1.1.41.4.2.3.cmml">
              <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.8.cmml">
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.33.2.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.8.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.33.2.9" xref="p1.1.m1.1.33.2.9.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.33.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.9.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.33.2.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.2.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.33.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.33.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.1.1.cmml">𝔦</mi>
                        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.33.2.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.1.4.cmml">⁢</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.33.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.1.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.33.2.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.1.2.2.cmml">H</mi>
                          <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.33.2.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.1.2.1.cmml">^</mo>
                        </mover>
                        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.33.2.3.1.4a" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.1.4.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.33.2.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.33.2.3.1.3.cmml">t</mi>
                      </mrow>
                    </msup>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.33.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.9.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.33.2.4" xref="p1.1.m1.1.33.2.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.33.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.4.2.cmml">A</mi>
                      <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.33.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.4.1.cmml">^</mo>
                    </mover>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.33.2.9.1a" xref="p1.1.m1.1.33.2.9.1.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.33.2.9.3" xref="p1.1.m1.1.33.2.9.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.33.2.5" xref="p1.1.m1.1.33.2.5.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.33.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.cmml">
                        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.33.2.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.1.cmml">-</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.33.2.6.1.5" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.33.2.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.2.cmml">𝔦</mi>
                          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.33.2.6.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.33.2.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.3.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.33.2.6.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.3.2.cmml">H</mi>
                            <mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.33.2.6.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.3.1.cmml">^</mo>
                          </mover>
                          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.33.2.6.1.5.1a" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.33.2.6.1.4" xref="p1.1.m1.1.33.2.6.1.4.cmml">t</mi>
                        </mrow>
                      </mrow>
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⟨A^⟩t=⟨Ψ(0)eiH^t|A^|e−iH^tΨ(0)⟩=⟨Ψ(0)|eiH^tA^e−iH^t|⏟A~Ψ(0)⟩
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>A</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>t</mi></mrow></msub></mstyle><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="fraktur">i</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mi>t</mi></mrow></mrow></msup><mspace width="0.167em"></mspace><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>A</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mspace width="0.167em"></mspace><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mspace width="0.167em"></mspace><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="fraktur">i</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mi>t</mi></mrow></mrow></msup><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mspace width="0.167em"></mspace><munder><mrow data-mjx-texclass="OP"><munder><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="fraktur">i</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mi>t</mi></mrow></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>A</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="fraktur">i</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mi>t</mi></mrow></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mo>&#x23DF;</mo></munder></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>A</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow></mrow></munder><mspace width="0.167em"></mspace><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>0</mn><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mrow></math>

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Calculated based on the variables occurring on the entire Formaler Aufbau der Quantenmechanik page

Identifiers

  • A^t
  • Ψ
  • e
  • i
  • H^
  • t
  • A^
  • e
  • i
  • H^
  • t
  • Ψ
  • Ψ
  • e
  • i
  • H^
  • t
  • A^
  • e
  • i
  • H^
  • t
  • A~
  • Ψ

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