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* Page found: Formaler Aufbau der Quantenmechanik (eq math.2711.75)

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Formaler Aufbau der Quantenmechanik Eq: math.2711.75

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TeX (original user input):

{{\left\langle {\hat{x}} \right\rangle }_{n}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\Psi }_{n}}^{*}\left( x \right){{x}^{2}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)dx=}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\underbrace{{{\left| \Psi \left( x \right) \right|}^{2}}}_{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}

TeX (checked):

{{\left\langle {\hat {x}}\right\rangle }_{n}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{\Psi }_{n}}^{*}\left(x\right){{x}^{2}}{{\Psi }_{n}}\left(x\right)dx=}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\underbrace {{\left|\Psi \left(x\right)\right|}^{2}} _{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (14.777 KB / 2.158 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle{{\left\langle{\hat{x}}\right\rangle}_{n}}=\int% \limits_{-\infty}^{\infty}{{{\Psi}_{n}}^{*}\left(x\right){{x}^{2}}{{\Psi}_{n}}% \left(x\right)dx=}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{{{x}^{2}}\underbrace{{{\left|% \Psi\left(x\right)\right|}^{2}}}_{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{\left\langle{\hat{x}}\right\rangle}_{n}}=\int%&#10;\limits_{-\infty}^{\infty}{{{\Psi}_{n}}^{*}\left(x\right){{x}^{2}}{{\Psi}_{n}}%&#10;\left(x\right)dx=}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{{{x}^{2}}\underbrace{{{\left|%&#10;\Psi\left(x\right)\right|}^{2}}}_{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">x</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">^</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
        </mrow>
        <mi id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">n</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.34.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.34.3.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.34.3.1a" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">∫</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">-</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml">∞</mi>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">∞</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml">
          <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.34.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.2.cmml">
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">Ψ</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">n</mi>
            <none id="p1.1.m1.1.34.3.2.2a" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.2.cmml"/>
            <none id="p1.1.m1.1.34.3.2.2b" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.2.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">*</mo>
          </mmultiscripts>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.34.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">x</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">2</mn>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.3.2.1b" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.34.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.5.cmml">
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">Ψ</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">n</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.3.2.1c" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.3.2.1d" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.2.7" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.7.cmml">
            <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">𝑑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">x</mi>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.34.4" xref="p1.1.m1.1.34.4.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.34.4.1" xref="p1.1.m1.1.34.4.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.34.4.1a" xref="p1.1.m1.1.34.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">∫</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.26.1.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.cmml">-</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.26.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.1.2.cmml">∞</mi>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">∞</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.4.2" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.34.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">x</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">2</mn>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <munder id="p1.1.m1.1.34.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.3.cmml">
            <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.9" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.1.cmml">
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.30.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.1.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.2.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.30.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.cmml">Ψ</mi>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.30.2.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.2.cmml">
                      <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.30.2.3" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.2.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.30.2.4" xref="p1.1.m1.1.30.2.4.cmml">x</mi>
                      <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.30.2.5" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.30.2.6" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.1.1.cmml">|</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.30.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.7.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.cmml">⏟</mo>
            </munder>
            <mtext id="p1.1.m1.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.31.1a.cmml">Wahrscheinlichkeitsdichte</mtext>
          </munder>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.4.cmml">
            <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">𝑑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">x</mi>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.34">
        <and id="p1.1.m1.1.34a.cmml" xref="p1.1.m1.1.34"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.34b.cmml" xref="p1.1.m1.1.34">
          <eq id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.34.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2">subscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.34.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2.2">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.34.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">delimited-⟨⟩</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">
                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">^</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2">𝑥</ci>
              </apply>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1">𝑛</ci>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.34.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3">
            <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.1"/>
                  <infinity id="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.2"/>
                </apply>
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              <infinity id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1"/>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2">
              <times id="p1.1.m1.1.34.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.34.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.2">superscript</csymbol>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">Ψ</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">𝑛</ci>
                </apply>
                <times id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1"/>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝑥</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.34.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.4">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.4">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">𝑥</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.1">2</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.34.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.5">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.5">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">Ψ</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">𝑛</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">𝑥</ci>
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                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.22">differential-d</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">𝑥</ci>
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            </apply>
          </apply>
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          <eq id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.34.3.cmml" id="p1.1.m1.1.34d.cmml" xref="p1.1.m1.1.34"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.34.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.4">
            <apply id="p1.1.m1.1.34.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.4.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.4.1">superscript</csymbol>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.4.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.4.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.26.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.1.1"/>
                  <infinity id="p1.1.m1.1.26.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.1.2"/>
                </apply>
              </apply>
              <infinity id="p1.1.m1.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.1"/>
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              <times id="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">𝑥</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1">2</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.34.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.4.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.3">subscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">
                  <ci id="p1.1.m1.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.1">⏟</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.30.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.30.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.9">
                      <abs id="p1.1.m1.1.30.2.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.30.2.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.2">
                        <times id="p1.1.m1.1.30.2.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.9.2.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.30.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2">Ψ</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.30.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.4">𝑥</ci>
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                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.30.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.7.1">2</cn>
                  </apply>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.31.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1">
                  <mtext mathsize="70%" id="p1.1.m1.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1">Wahrscheinlichkeitsdichte</mtext>
                </ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33">𝑥</ci>
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\limits_{-\infty}^{\infty}{{{\Psi}_{n}}^{*}\left(x\right){{x}^{2}}{{\Psi}_{n}}%
\left(x\right)dx=}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{{{x}^{2}}\underbrace{{{\left|%
\Psi\left(x\right)\right|}^{2}}}_{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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{⟨ \hat{x} ⟩}_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} {Ψ_{n}}^{*} (x) x^{2} Ψ_{n} (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \underset{Wahrscheinlichkeitsdichte}{\underset{⏟}{{| Ψ (x) |}^{2}}} d x

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