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\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\sum{{{P}_{i}}\left\langle \psi \left| {{M}_{\alpha }} \right|\psi  \right\rangle }=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right)

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⟨ M ^ α ⟩ = ∑ P i ⁢ ⟨ ψ | M α | ψ ⟩ = Tr ⁡ ( ρ ^ ⁢ M ^ α ) delimited-⟨⟩ subscript ^ 𝑀 𝛼 subscript 𝑃 𝑖 quantum-operator-product 𝜓 subscript 𝑀 𝛼 𝜓 Tr ^ 𝜌 subscript ^ 𝑀 𝛼 {\displaystyle{\displaystyle\left\langle{{{\hat{M}}}_{\alpha}}\right\rangle=% \sum{{{P}_{i}}\left\langle\psi\left|{{M}_{\alpha}}\right|\psi\right\rangle}=% \operatorname{Tr}\left(\hat{\rho}{{{\hat{M}}}_{\alpha}}\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{{{\hat{M}}}_{\alpha}}\right\rangle=%&#10;\sum{{{P}_{i}}\left\langle\psi\left|{{M}_{\alpha}}\right|\psi\right\rangle}=%&#10;\operatorname{Tr}\left(\hat{\rho}{{{\hat{M}}}_{\alpha}}\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.1.cmml">⟨</mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.25.2.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.cmml">
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">M</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">^</mo>
          </mover>
          <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">α</mi>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.25.3" xref="p1.1.m1.1.25.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.25.3a" xref="p1.1.m1.1.25.3.cmml">
          <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">∑</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.25.3.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.25.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">P</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">i</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.25.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.25.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.3.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.3.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">ψ</mi>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.3.1.1.cmml">|</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.25.3.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.3.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">M</mi>
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              </msub>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.3.1.1.cmml">|</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">ψ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.3.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mstyle>
      <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.25.4.2" xref="p1.1.m1.1.25.4.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">Tr</mi>
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">^</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.25.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.4.2.1.1.cmml">⁢</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.25.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.4.2.1.2.cmml">
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">M</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">^</mo>
              </mover>
              <mi id="p1.1.m1.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.cmml">α</mi>
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          </mrow>
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              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">𝛼</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">
                <ci id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1">^</ci>
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</math>

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⟨M^α⟩=∑Pi⟨ψ|Mα|ψ⟩=Tr⁡(ρ^M^α)
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>M</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mo texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>P</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>&#x03C8;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><msub><mi>M</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mi>&#x03C8;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow></mrow><mo>=</mo><mi data-mjx-texclass="OP" mathvariant="normal">Tr</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>&#x03C1;</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>M</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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