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\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\left\langle \psi \left| {{M}_{\alpha }} \right|\psi  \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)

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⟨ M ^ α ⟩ = ⟨ ψ | M α | ψ ⟩ = Tr ⁡ ( ρ ^ ⁢ M ^ ) delimited-⟨⟩ subscript ^ 𝑀 𝛼 quantum-operator-product 𝜓 subscript 𝑀 𝛼 𝜓 Tr ^ 𝜌 ^ 𝑀 {\displaystyle{\displaystyle\left\langle{{{\hat{M}}}_{\alpha}}\right\rangle=% \left\langle\psi\left|{{M}_{\alpha}}\right|\psi\right\rangle=\operatorname{Tr}% \left(\hat{\rho}\hat{M}\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{{{\hat{M}}}_{\alpha}}\right\rangle=%&#10;\left\langle\psi\left|{{M}_{\alpha}}\right|\psi\right\rangle=\operatorname{Tr}%&#10;\left(\hat{\rho}\hat{M}\right)}}" display="inline">
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    <mrow id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.1.cmml">⟨</mo>
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          </mover>
          <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">α</mi>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
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        <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.21.3.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">ψ</mi>
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        <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">ψ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.21.3.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
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        <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">Tr</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.21.4.2a" xref="p1.1.m1.1.21.4.1.cmml">⁡</mo>
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            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">^</mo>
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            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.cmml">M</mi>
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⟨M^α⟩=⟨ψ|Mα|ψ⟩=Tr⁡(ρ^M^)
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