Virtuelle Verrückungen

Unter einer virtuellen Verrückung ${δ {\vec{r}}_{i}}$ versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit ${δ t = 0}$ die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.

Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als $d {\vec{r}}_{i}$ im Zeitintervall $d t$ längs der Bahn geschieht.

Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.

Es gilt folglich

$δ f_{λ} = \sum_{i = 1}^{N} \nabla_{r i} f_{λ} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 λ = 1, . . . ν$

$\sum_{i = 1}^{N} {\vec{a}}_{λ i} ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, . . ., {\vec{r}}_{N}, t) \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 λ = 1, . . . ν$

Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition ${δ t = 0}$ .

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:

$\vec{a} \cdot (\vec{r} - {\vec{r}}_{o} (t)) = 0$

Dabei ist ${\vec{r}}_{o} (t)$ der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.

Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:

$\begin{aligned} f ({\vec{r}}_{i}) = \vec{a} \cdot ({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{o} (t)) = 0 i = 1, 2, . . ., N \\ d f ({\vec{r}}_{i}) = \vec{a} \cdot (d {\vec{r}}_{i} - {\vec{v}}_{o} (t) d t) = 0 i = 1, 2, . . ., N {\vec{v}}_{o} (t) = \frac{d {\vec{r}}_{o} (t)}{d t} \end{aligned}$

also gilt im Allgemeinen:

$\vec{a} \cdot d {\vec{r}}_{i} = \vec{a} \cdot {\vec{v}}_{o} (t) d t \neq 0 i = 1, 2, . . ., N {\vec{v}}_{o} (t) = \frac{d {\vec{r}}_{o} (t)}{d t}$

aber:

$δ f = \vec{a} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 i = 1, 2, . . ., N {\vec{v}}_{o} (t) = \frac{d {\vec{r}}_{o} (t)}{d t}$

Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem ${\vec{r}}_{o} (t)$ . Es gilt: $δ {\vec{r}}_{i} ⊥ \vec{a}$

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