Theorem von Noether

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Theorem von Noether basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Voraussetzung: Autonomes, das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer Lagrangefunktion

$L(q_1,...,{\dot{q}}_1,...,t)$

Theorem (E.Noether, 1882-1935)

Die Lagrangefunktion

$L(q_1,...,{\dot{q}}_1,...,t)$

eines autonomen Systems sei unter der Transformation

$\overline{q}\to h^s(\overline{q})$

invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und

$h^{s=0}(\overline{q})=\overline{q}$

die Identität.

Dann gibt es ein Integral der Bewegung

$I(\overline{q},\dot{\overline{q}})=\sum _{i=1}^f\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{(\frac{d}{ds}{h}^s(q_i))}_{s=0}$

Beweis:

Sei

$\overline{q}=\overline{q}(t)$

eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch

$\overline{q}(s,t):=h^s(\overline{q},t)$

Lösung, das heißt:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\overline{q}(s,t),\dot{\overline{q}}(s,t))}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial L(\overline{q}(s,t),\dot{\overline{q}}(s,t))}{\partial q_i}$

Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{ds}L(\overline{q}(s,t),\dot{\overline{q}}(s,t))=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial L}{\partial q_i}\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\left(\frac{d{\dot{q}}_i}{ds}\right)}_{})=0\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\overline{q},\dot{\overline{q}})=\sum _{i=1}^f\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{(\frac{d}{ds}{h}^s(q_i))}_{s=0}\right)=\sum _{i=1}^f(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\frac{d}{dt}{\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)}_{})\\ \end{array}$ Mit $\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}\\ & \frac{d}{dt}\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)=\left(\frac{d{\dot{q}}_i}{ds}\right)\\ \end{array}$

und mit Hilfe von

$\frac{d}{ds}L(\overline{q}(s,t),\dot{\overline{q}}(s,t))=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial L}{\partial q_i}\left(\frac{d{q}_i}{ds}\right)+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\left(\frac{d{\dot{q}}_i}{ds}\right)}_{})=0$

folgt dann:

$\frac{d}{dt}I(\overline{q},\dot{\overline{q}})=\frac{d}{ds}L=0$