Theorem von Noether

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Voraussetzung: Autonomes, das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer Lagrangefunktion


L(q1,...,q˙1,...,t)


Theorem (E.Noether, 1882-1935)

Die Lagrangefunktion

L(q1,...,q˙1,...,t)

eines autonomen Systems sei unter der Transformation


q¯hs(q¯)

invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und

hs=0(q¯)=q¯

die Identität.

Dann gibt es ein Integral der Bewegung


I(q¯,q¯˙)=i=1fLq˙i(ddshs(qi))s=0


Beweis:

Sei

q¯=q¯(t)

eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch

q¯(s,t):=hs(q¯,t)

Lösung, das heißt:


ddtL(q¯(s,t),q¯˙(s,t))q˙i=L(q¯(s,t),q¯˙(s,t))qi


Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:


ddsL(q¯(s,t),q¯˙(s,t))=i=1f(Lqi(dqids)+Lq˙i(dq˙ids))=0ddtI(q¯,q¯˙)=i=1fddt(Lq˙i(ddshs(qi))s=0)=i=1f(ddtLq˙i(dqids)+Lq˙iddt(dqids)) Mit ddtLq˙i=Lqiddt(dqids)=(dq˙ids)


und mit Hilfe von


ddsL(q¯(s,t),q¯˙(s,t))=i=1f(Lqi(dqids)+Lq˙i(dq˙ids))=0


folgt dann:


ddtI(q¯,q¯˙)=ddsL=0