Theorem von Noether

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Theorem von Noether basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

|}}

__SHOWFACTBOX__

Voraussetzung: Autonomes, das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer Lagrangefunktion

L (q_{1}, ..., {\dot{q}}_{1}, ..., t)

Theorem (E.Noether, 1882-1935)

Die Lagrangefunktion

L (q_{1}, ..., {\dot{q}}_{1}, ..., t)

eines autonomen Systems sei unter der Transformation

\bar{q} \to h^{s} (\bar{q})

invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und

h^{s = 0} (\bar{q}) = \bar{q}

die Identität.

Dann gibt es ein Integral der Bewegung

I (\bar{q}, \dot{\bar{q}}) = \sum_{i = 1}^{f} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {(\frac{d}{d s} h^{s} (q_{i}))}_{s = 0}

Beweis:

Sei

\bar{q} = \bar{q} (t)

eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch

\bar{q} (s, t) := h^{s} (\bar{q}, t)

Lösung, das heißt:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L (\bar{q} (s, t), \dot{\bar{q}} (s, t))}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \frac{\partial L (\bar{q} (s, t), \dot{\bar{q}} (s, t))}{\partial q_{i}}

Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:

\begin{matrix} \frac{d}{d s} L (\bar{q} (s, t), \dot{\bar{q}} (s, t)) = \sum_{i = 1}^{f} (\frac{\partial L}{\partial q_{i}} (\frac{d q_{i}}{d s}) + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {(\frac{d {\dot{q}}_{i}}{d s})}_{}) = 0 \\ \Rightarrow \frac{d}{d t} I (\bar{q}, \dot{\bar{q}}) = \sum_{i = 1}^{f} \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {(\frac{d}{d s} h^{s} (q_{i}))}_{s = 0}) = \sum_{i = 1}^{f} (\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} (\frac{d q_{i}}{d s}) + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} \frac{d}{d t} {(\frac{d q_{i}}{d s})}_{}) \end{matrix}

Mit

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \frac{\partial L}{\partial q_{i}} \\ \frac{d}{d t} (\frac{d q_{i}}{d s}) = (\frac{d {\dot{q}}_{i}}{d s}) \end{matrix}

und mit Hilfe von

\frac{d}{d s} L (\bar{q} (s, t), \dot{\bar{q}} (s, t)) = \sum_{i = 1}^{f} (\frac{\partial L}{\partial q_{i}} (\frac{d q_{i}}{d s}) + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {(\frac{d {\dot{q}}_{i}}{d s})}_{}) = 0

folgt dann:

\frac{d}{d t} I (\bar{q}, \dot{\bar{q}}) = \frac{d}{d s} L = 0

Theorem von Noether

Navigationsmenü

Suche