Poisson- Klammern

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Kein GFDL

Der Artikel Poisson- Klammern basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 6) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen:

$Observable=g(\overline{q},\overline{p},t)$

Die zeitliche Änderung längs der Bahn

$\overline{q}(t),\overline{p}(t)$

im Phasenraum

$\mathrm{\Gamma }$

$\frac{dg(\overline{q},\overline{p},t)}{dt}=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial g}{\partial p_i}{\dot{p}}_i)+\frac{\partial g}{\partial t}=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i})+\frac{\partial g}{\partial t}=:\{g,H\}+\frac{\partial g}{\partial t}$

Definition:

Für zwei beliebige Observablen

$g(\overline{q},\overline{p},t)$ und $f(\overline{q},\overline{p},t)$

heißt

$\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i})=:\{g,f\}$

Poisson- Klammer

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Bezug zur Quantenmechanik

Ein Übergang zur Quantenmechanik ist möglich:

Von der klassischen Variablen

$g(\overline{q},\overline{p},t)$

zum qm. Operator:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle g:H→H}

mit dem Hilbertraum H

Von der Poissonklammer:

$\{f,g\}\to \frac{1}{i\hslash }[f,g]$

zum Kommutator

Aus den fundamentalen Poisson- Klammern folgen die kanonischen Vertauschiungsrelationen:

$\begin{array}{rl}& \{q_k,q_j\}=0\to [q_k,q_j]=0\\ & \{p_k,p_j\}=0\to [p_k,p_j]=0\\ & \{q_k,p_j\}={\delta }_{kj}\to [q_k,p_j]=i\hslash {\delta }_{kj}\\ \end{array}$

Die Hamiltonfunktion H(q,p,t) geht über zum Hamilton- Operator

Die Bewegungsgleichungen:

$\begin{array}{rl}& \frac{dg(\overline{q},\overline{p},t)}{dt}=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial g}{\partial p_i}{\dot{p}}_i)+\frac{\partial g}{\partial t}=\sum _{i=1}^f(\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i})+\frac{\partial g}{\partial t}=:\{g,H\}+\frac{\partial g}{\partial t}\\ & \to \frac{dg}{dt}=\frac{1}{i\hslash }[g,H]+\frac{\partial g}{\partial t}\\ \end{array}$

Wobei auch nur der Zusammenhang zwischen Poisson- Klammer und Kommutator recycled wurde.

Da in diesem Bild die Operatoren zeitabhängig sind haben wir es mit der Heisenbergschen bewegungsgleichung zu tun. Im Schrödingerbild ist der Operator zeitunabhängig und die Schrödingergleichung gibt eine Bewegungsgleichung für die Zustände an.