Elektrische Multipolentwicklung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Elektrische Multipolentwicklung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen $\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})$ in der Nähe des Ursprungs $\overline{r}\stackrel{´}{}=0$, so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von

$\mathrm{\Phi }(\overline{r})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{d}^{3}r\stackrel{´}{}$

für $r\to \mathrm{\infty }$ machen: Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für $r>>r\stackrel{´}{}$:

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^l}{l!}{(\overline{r}\stackrel{´}{}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r)}^{l}G(\overline{r})$

Also

$\mathrm{\Phi }(\overline{r})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})d^{3}r\stackrel{´}{}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^l}{l!}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}_{{}^{}}^{3}r\stackrel{´}{}{(\overline{r}\stackrel{´}{}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r)}^{l}G(\overline{r})\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})$

explizit für unsere Situation:

$G(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{\left|\overline{r}\right|}$

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}={(r^2-2rr\stackrel{´}{}\cos \vartheta +r{\stackrel{´}{}}^2)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{r}{(1-2\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\cos \vartheta +{\left(\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\right)}^2)}^{-\frac{1}{2}}$

Wobei $\vartheta$ den Winkel zwischen $\overline{r}$ und $\overline{r}\stackrel{´}{}$ bezeichnet. Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für $r\stackrel{´}{}<r$ und $|\cos \vartheta |=\left|\xi \right|<1$ konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen (Legendre-Polynome):

$P_l(\xi )$

${(1-2\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\xi +{\left(\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\right)}^2)}^{-\frac{1}{2}}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\right)}^l{P}_l(\xi )$

Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe (Taylorreihe) multipliziert mit ${\left(\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\right)}^l$ in jeweils l-ter Ordnung die Funktion

${(1-2\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\xi +{\left(\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\right)}^2)}^{-\frac{1}{2}}$

zu ergeben, die wiederum das r- Fache von

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{1}{r}{(1-2\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\cos \vartheta +{\left(\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\right)}^2)}^{-\frac{1}{2}}$ ist.

Also:

$P_l(\xi )=\frac{1}{l!}\left(\frac{{\partial }^l}{\partial t^l}{(1-2t\xi +t^2)}^{-\frac{1}{2}}\right)$

Insbesondere folgt damit:

$P_l(\xi )=\frac{1}{l!}\left(\frac{{\partial }^l}{\partial t^l}{(1-2t\xi +t^2)}^{-\frac{1}{2}}\right)$

und speziell:

$\begin{array}{rl}& P_0(\xi )=1\\ & P_1(\xi )=\xi =\cos \vartheta \\ & P_2(\xi )=\frac{1}{2}(3{\xi }^2-1)==\frac{1}{4}(3{\cos }^2\vartheta +1)\\ \end{array}$

Also:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r\stackrel{´}{}}{r}\right)}^l{P}_l(\cos \vartheta )=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{Q}_l{r}^{-l-1}$

Mit

$Q_l=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}r{\stackrel{´}{}}^l\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})P_l(\cos \vartheta )$

als 2^l- Pol Die Multipolentwicklung (Entwicklung nach 2^l- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r!!

Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen (r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell! Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für

• Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
• Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
• Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...

$l=0$

${\mathrm{\Phi }}^{(0)}(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_0}{r}$

$Q_0=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})$

sogenannter Monopol (die Gesamtladung). Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung

l=1:

${\mathrm{\Phi }}^{(1)}(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\overline{p}\cdot \overline{r}}{r^3}$

$Q_1=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})r\stackrel{´}{}\cos \vartheta =\frac{\overline{p}\cdot \overline{r}}{r}$

Mit dem Dipolmoment

$\overline{p}:=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\overline{r}\stackrel{´}{}$

Das Dipolpotenzial fällt also $\stackrel{~}{}\frac{1}{r^2}$ ab. Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper ($Q_0=0$).

{{Beispiel:Beispiel: 2 Punktladungen q, -q bei${\overline{r}}_1,{\overline{r}}_2$:

$\begin{array}{rl}& \rho (\overline{r}\stackrel{´}{})=q[\delta (\overline{r}\stackrel{´}{}-{\overline{r}}_1)-\delta (\overline{r}\stackrel{´}{}-{\overline{r}}_2)]\\ & Q_0=0\\ & \overline{p}=q({\overline{r}}_1-{\overline{r}}_2)=q\cdot \overline{a}\\ \end{array}$

Feld des Dipolpotenzials:

$E_i=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{p_k\cdot x_k}{r^3}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}[\frac{3x_i\cdot p_k\cdot x_k}{r5}-{\delta }_{ik}\frac{p_k}{r^3}]$

$\Rightarrow E(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^5}[3(\overline{p}\cdot \overline{r})\overline{r}-r^2\overline{p}]$

Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:

$\Rightarrow E(\overline{r})\stackrel{~}{}\frac{1}{r^3}$}}

l=2:

${\mathrm{\Phi }}^{(2)}(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_2}{r^3}$

$\begin{array}{rl}& Q_2=\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})r{\stackrel{´}{}}^2(3{\cos }^2\vartheta -1)=\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})(3\frac{\overline{r}\stackrel{´}{}\cdot \overline{r}}{r}\frac{\overline{r}\stackrel{´}{}\cdot \overline{r}}{r}-\overline{r}{\stackrel{´}{}}^2)\\ & \frac{\overline{r}\stackrel{´}{}\cdot \overline{r}}{r}\frac{\overline{r}\stackrel{´}{}\cdot \overline{r}}{r}=\frac{x_k\stackrel{´}{}{x}_k{x}_l\stackrel{´}{}{x}_l}{r^2}\\ & \Rightarrow Q_2=\frac{1}{2r^2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})(3x_k\stackrel{´}{}{x}_l\stackrel{´}{}-\overline{r}{\stackrel{´}{}}^2{\delta }_{kl})\\ \end{array}$

Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment:

$\begin{array}{rl}& Q_2=\frac{1}{2r^2}{Q}_{kl}\\ & \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})(3x_k\stackrel{´}{}{x}_l\stackrel{´}{}-\overline{r}{\stackrel{´}{}}^2{\delta }_{kl})=Q_{kl}\\ \end{array}$

$Q_{kl}$

ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:

$\sum _{i=1}^3{Q}_{ii}=\sum _{i=1}^3\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})(3x_i\stackrel{´}{}{x}_i\stackrel{´}{}-\overline{r}{\stackrel{´}{}}^2{\delta }_{ii})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})(3\overline{r}{\stackrel{´}{}}^2-3\overline{r}{\stackrel{´}{}}^2)=0$

Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:

$\begin{array}{rl}& Q_{kl}=0f\ddot{u}rk\ne l\\ & Q_{11}+Q_{22}+Q_{33}=0\\ \end{array}$

Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit!

Für das Potenzial ergibt sich:

${\mathrm{\Phi }}^{(2)}(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{2r^5}{Q}_{kl}{x}_k{x}_l=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\overline{r}\cdot \overline{\overline{Q}}\cdot \overline{r}}{2r^5}\stackrel{~}{}\frac{1}{r^3}$

Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole: