Elektrische Multipolentwicklung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Elektrische Multipolentwicklung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen $ρ (\bar{r} \overset{´}{})$ in der Nähe des Ursprungs $\bar{r} \overset{´}{} = 0$ , so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von

Φ (\bar{r}) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{ρ (\bar{r} \overset{´}{})}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |} d^{3} r \overset{´}{}

für $r \to \infty$ machen: Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für $r > > r \overset{´}{}$ :

G (\bar{r} - \bar{r} \overset{´}{}) = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{l}}{l!} {(\bar{r} \overset{´}{} \cdot \nabla_{r})}^{l} G (\bar{r})

Also

Φ (\bar{r}) = \int_{- \infty}^{\infty} G (\bar{r} - \bar{r} \overset{´}{}) ρ (\bar{r} \overset{´}{}) d^{3} r \overset{´}{} = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{l}}{l!} \int_{}^{} d_{^{}}^{3} r \overset{´}{} {(\bar{r} \overset{´}{} \cdot \nabla_{r})}^{l} G (\bar{r}) ρ (\bar{r} \overset{´}{})

explizit für unsere Situation:

G (\bar{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{| \bar{r} |}

\frac{1}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |} = {(r^{2} - 2 r r \overset{´}{} \cos ϑ + r {\overset{´}{}}^{2})}^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{r} {(1 - 2 \frac{r \overset{´}{}}{r} \cos ϑ + {(\frac{r \overset{´}{}}{r})}^{2})}^{- \frac{1}{2}}

Wobei $ϑ$ den Winkel zwischen $\bar{r}$ und $\bar{r} \overset{´}{}$ bezeichnet. Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für $r \overset{´}{} < r$ und $| \cos ϑ | = | ξ | < 1$ konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen (Legendre-Polynome):

P_{l} (ξ)

{(1 - 2 \frac{r \overset{´}{}}{r} ξ + {(\frac{r \overset{´}{}}{r})}^{2})}^{- \frac{1}{2}} = \sum_{l = 0}^{\infty} {(\frac{r \overset{´}{}}{r})}^{l} P_{l} (ξ)

Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe (Taylorreihe) multipliziert mit ${(\frac{r \overset{´}{}}{r})}^{l}$ in jeweils l-ter Ordnung die Funktion

{(1 - 2 \frac{r \overset{´}{}}{r} ξ + {(\frac{r \overset{´}{}}{r})}^{2})}^{- \frac{1}{2}}

zu ergeben, die wiederum das r- Fache von

\frac{1}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |} = \frac{1}{r} {(1 - 2 \frac{r \overset{´}{}}{r} \cos ϑ + {(\frac{r \overset{´}{}}{r})}^{2})}^{- \frac{1}{2}}

ist.

Also:

P_{l} (ξ) = \frac{1}{l!} (\frac{\partial^{l}}{\partial t^{l}} {(1 - 2 t ξ + t^{2})}^{- \frac{1}{2}})

Insbesondere folgt damit:

P_{l} (ξ) = \frac{1}{l!} (\frac{\partial^{l}}{\partial t^{l}} {(1 - 2 t ξ + t^{2})}^{- \frac{1}{2}})

und speziell:

\begin{matrix} P_{0} (ξ) = 1 \\ P_{1} (ξ) = ξ = \cos ϑ \\ P_{2} (ξ) = \frac{1}{2} (3 ξ^{2} - 1) = = \frac{1}{4} (3 \cos^{2} ϑ + 1) \end{matrix}

Also:

Φ (\bar{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{r} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) \sum_{l = 0}^{\infty} {(\frac{r \overset{´}{}}{r})}^{l} P_{l} (\cos ϑ) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \sum_{l = 0}^{\infty} Q_{l} r^{- l - 1}

Mit

Q_{l} = \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} r {\overset{´}{}}^{l} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) P_{l} (\cos ϑ)

als 2^l- Pol Die Multipolentwicklung (Entwicklung nach 2^l- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r!!

Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen (r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell! Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für

Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...

l = 0

Φ^{(0)} (\bar{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q_{0}}{r}

Q_{0} = \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{})

sogenannter Monopol (die Gesamtladung). Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung

l=1:

Φ^{(1)} (\bar{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{\bar{p} \cdot \bar{r}}{r^{3}}

Q_{1} = \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) r \overset{´}{} \cos ϑ = \frac{\bar{p} \cdot \bar{r}}{r}

Mit dem Dipolmoment

\bar{p} := \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) \bar{r} \overset{´}{}

Das Dipolpotenzial fällt also $\tilde{} \frac{1}{r^{2}}$ ab. Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper ( $Q_{0} = 0$ ).

{{Beispiel:Beispiel: 2 Punktladungen q, -q bei ${\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}$ :

\begin{matrix} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) = q [δ (\bar{r} \overset{´}{} - {\bar{r}}_{1}) - δ (\bar{r} \overset{´}{} - {\bar{r}}_{2})] \\ Q_{0} = 0 \\ \bar{p} = q ({\bar{r}}_{1} - {\bar{r}}_{2}) = q \cdot \bar{a} \end{matrix}

Feld des Dipolpotenzials:

E_{i} = - \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{p_{k} \cdot x_{k}}{r^{3}} = \frac{1}{4 π ε_{0}} [\frac{3 x_{i} \cdot p_{k} \cdot x_{k}}{r 5} - δ_{i k} \frac{p_{k}}{r^{3}}]

\Rightarrow E (\bar{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{r^{5}} [3 (\bar{p} \cdot \bar{r}) \bar{r} - r^{2} \bar{p}]

Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:

\Rightarrow E (\bar{r}) \tilde{} \frac{1}{r^{3}}

}}

l=2:

Φ^{(2)} (\bar{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q_{2}}{r^{3}}

\begin{matrix} Q_{2} = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) r {\overset{´}{}}^{2} (3 \cos^{2} ϑ - 1) = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) (3 \frac{\bar{r} \overset{´}{} \cdot \bar{r}}{r} \frac{\bar{r} \overset{´}{} \cdot \bar{r}}{r} - \bar{r} {\overset{´}{}}^{2}) \\ \frac{\bar{r} \overset{´}{} \cdot \bar{r}}{r} \frac{\bar{r} \overset{´}{} \cdot \bar{r}}{r} = \frac{x_{k} \overset{´}{} x_{k} x_{l} \overset{´}{} x_{l}}{r^{2}} \\ \Rightarrow Q_{2} = \frac{1}{2 r^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) (3 x_{k} \overset{´}{} x_{l} \overset{´}{} - \bar{r} {\overset{´}{}}^{2} δ_{k l}) \end{matrix}

Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment:

\begin{matrix} Q_{2} = \frac{1}{2 r^{2}} Q_{k l} \\ \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) (3 x_{k} \overset{´}{} x_{l} \overset{´}{} - \bar{r} {\overset{´}{}}^{2} δ_{k l}) = Q_{k l} \end{matrix}

Q_{k l}

ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:

\sum_{i = 1}^{3} Q_{i i} = \sum_{i = 1}^{3} \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) (3 x_{i} \overset{´}{} x_{i} \overset{´}{} - \bar{r} {\overset{´}{}}^{2} δ_{i i}) = \int_{- \infty}^{\infty} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}) (3 \bar{r} {\overset{´}{}}^{2} - 3 \bar{r} {\overset{´}{}}^{2}) = 0

Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:

\begin{matrix} Q_{k l} = 0 f \ddot{u} r k \neq l \\ Q_{11} + Q_{22} + Q_{33} = 0 \end{matrix}

Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit!

Für das Potenzial ergibt sich:

Φ^{(2)} (\bar{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{2 r^{5}} Q_{k l} x_{k} x_{l} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{\bar{r} \cdot \bar{\bar{Q}} \cdot \bar{r}}{2 r^{5}} \tilde{} \frac{1}{r^{3}}

Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:

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