Impulsbilanz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Impulsbilanz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:

$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{\partial t}(\overline{D}\times \overline{B})=\dot{\overline{D}}\times \overline{B}+\overline{D}\times \dot{\overline{B}}\\ & \dot{\overline{D}}=\mathrm{\nabla }\times \overline{H}-\overline{j}\\ & \dot{\overline{B}}=-\mathrm{\nabla }\times \overline{E}\\ & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}(\overline{D}\times \overline{B})=-\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{B})-\overline{j}\times \overline{B}-{\epsilon }_o\overline{E}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})\\ \end{array}$

Mittels

$\begin{array}{rl}& \overline{B}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{B})=\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }(\overline{B}\cdot \overline{B})-(\overline{B}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{B}\\ & \overline{B}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{B})=\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{B}\cdot \overline{B})-\overline{B}\otimes \overline{B}\}+\overline{B}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B})=\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{B}\cdot \overline{B})-\overline{B}\otimes \overline{B}\}\\ & \overline{B}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B})=0\\ \end{array}$

Dabei bezeichnet

$\left(1\right)$

den Einheitstensor 1. Stufe und

$\overline{B}\otimes \overline{B}$

das Tensorprodukt (dyadisches Produkt). Außerdem ist

$\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{B}\cdot \overline{B})-\overline{B}\otimes \overline{B}\}$

die Divergenz eines Tensors

$\left(T\right)$

zweiter Stufe. In Komponenten gilt:

${(\mathrm{\nabla }\cdot T)}_{\beta }:={\partial }_{\alpha }{T_{\alpha }}_{\beta }$

Analog:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})=\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{E})-\overline{E}\otimes \overline{E}\}+\overline{E}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E})=\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{E})-\overline{E}\otimes \overline{E}\}+\overline{E}\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}(\overline{D}\times \overline{B})+\mathrm{\nabla }\cdot \{\left(1\right)\frac{1}{2}({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)-{\epsilon }_0\overline{E}\otimes \overline{E}-\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\otimes \overline{B}\}=-(\overline{E}\rho +\overline{j}\times \overline{B})\\ \end{array}$

Dabei beschreibt

$(\overline{E}\rho +\overline{j}\times \overline{B})$

den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird

Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:

$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{\partial t}\overline{g}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\overline{\overline{T}}\right)=-(\overline{E}\rho +\overline{j}\times \overline{B})\\ & \overline{g}:=(\overline{D}\times \overline{B})\\ & \{\left(1\right)\frac{1}{2}({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)-{\epsilon }_0\overline{E}\otimes \overline{E}-\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\otimes \overline{B}\}:=\left(\overline{\overline{T}}\right)\\ \end{array}$

Dabei ist

$\overline{g}:=(\overline{D}\times \overline{B})$

die Impulsdichte des Feldes. Nach Newton gilt:

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}\overline{p}=\overline{F}\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}\overline{g}=\overline{f}\\ \end{array}$

Es ergibt sich

$\{\left(1\right)\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{D}+\overline{B}\cdot \overline{H})-\overline{E}\otimes \overline{D}-\overline{B}\otimes \overline{H}\}:=\left(\overline{\overline{T}}\right)$

Als der IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes (Maxwellscher Spannungstensor)

in Komponenten:

$T_{\alpha \beta }=\{{\delta }_{\alpha \beta }\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{D}+\overline{B}\cdot \overline{H})-{\overline{E}}_{\alpha }{\overline{D}}_{\beta }-{\overline{B}}_{\alpha }{\overline{H}}_{\beta }\}$

Dies ist die Stromrichtung der

$\beta$

- Komponente der Impulsdichte in

$\alpha$

- Richtung. Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert!

$tr\left(\overline{\overline{T}}\right)=T_{\alpha \alpha }=w$

Energiedichte Außerdem ist T symmetrisch:

$T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$

Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung

$\frac{\partial }{\partial t}{g}_{\beta }+\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}{T}_{\alpha \beta }=-f_{\beta }$

beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.

Bemerkung: Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen!