Impulsbilanz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Impulsbilanz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} (\bar{D} \times \bar{B}) = \dot{\bar{D}} \times \bar{B} + \bar{D} \times \dot{\bar{B}} \\ \dot{\bar{D}} = \nabla \times \bar{H} - \bar{j} \\ \dot{\bar{B}} = - \nabla \times \bar{E} \\ \Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} (\bar{D} \times \bar{B}) = - \frac{1}{μ_{0}} \bar{B} \times (\nabla \times \bar{B}) - \bar{j} \times \bar{B} - ε_{o} \bar{E} \times (\nabla \times \bar{E}) \end{matrix}

Mittels

\begin{matrix} \bar{B} \times (\nabla \times \bar{B}) = \frac{1}{2} \nabla (\bar{B} \cdot \bar{B}) - (\bar{B} \cdot \nabla) \bar{B} \\ \bar{B} \times (\nabla \times \bar{B}) = \nabla \cdot {(1) \frac{1}{2} (\bar{B} \cdot \bar{B}) - \bar{B} \otimes \bar{B}} + \bar{B} (\nabla \cdot \bar{B}) = \nabla \cdot {(1) \frac{1}{2} (\bar{B} \cdot \bar{B}) - \bar{B} \otimes \bar{B}} \\ \bar{B} (\nabla \cdot \bar{B}) = 0 \end{matrix}

Dabei bezeichnet

(1)

den Einheitstensor 1. Stufe und

\bar{B} \otimes \bar{B}

das Tensorprodukt (dyadisches Produkt). Außerdem ist

\nabla \cdot {(1) \frac{1}{2} (\bar{B} \cdot \bar{B}) - \bar{B} \otimes \bar{B}}

die Divergenz eines Tensors

(T)

zweiter Stufe. In Komponenten gilt:

{(\nabla \cdot T)}_{β} := \partial_{α} {T_{α}}_{β}

Analog:

\begin{matrix} \bar{E} \times (\nabla \times \bar{E}) = \nabla \cdot {(1) \frac{1}{2} (\bar{E} \cdot \bar{E}) - \bar{E} \otimes \bar{E}} + \bar{E} (\nabla \cdot \bar{E}) = \nabla \cdot {(1) \frac{1}{2} (\bar{E} \cdot \bar{E}) - \bar{E} \otimes \bar{E}} + \bar{E} \frac{ρ}{ε_{0}} \\ \Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} (\bar{D} \times \bar{B}) + \nabla \cdot {(1) \frac{1}{2} (ε_{0} E^{2} + \frac{1}{μ_{0}} B^{2}) - ε_{0} \bar{E} \otimes \bar{E} - \frac{1}{μ_{0}} \bar{B} \otimes \bar{B}} = - (\bar{E} ρ + \bar{j} \times \bar{B}) \end{matrix}

Dabei beschreibt

(\bar{E} ρ + \bar{j} \times \bar{B})

den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird

Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} \bar{g} + \nabla \cdot (\bar{\bar{T}}) = - (\bar{E} ρ + \bar{j} \times \bar{B}) \\ \bar{g} := (\bar{D} \times \bar{B}) \\ {(1) \frac{1}{2} (ε_{0} E^{2} + \frac{1}{μ_{0}} B^{2}) - ε_{0} \bar{E} \otimes \bar{E} - \frac{1}{μ_{0}} \bar{B} \otimes \bar{B}} := (\bar{\bar{T}}) \end{matrix}

Dabei ist

\bar{g} := (\bar{D} \times \bar{B})

die Impulsdichte des Feldes. Nach Newton gilt:

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \bar{p} = \bar{F} \\ \Rightarrow \frac{d}{d t} \bar{g} = \bar{f} \end{matrix}

Es ergibt sich

{(1) \frac{1}{2} (\bar{E} \cdot \bar{D} + \bar{B} \cdot \bar{H}) - \bar{E} \otimes \bar{D} - \bar{B} \otimes \bar{H}} := (\bar{\bar{T}})

Als der IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes (Maxwellscher Spannungstensor)

in Komponenten:

T_{α β} = {δ_{α β} \frac{1}{2} (\bar{E} \cdot \bar{D} + \bar{B} \cdot \bar{H}) - {\bar{E}}_{α} {\bar{D}}_{β} - {\bar{B}}_{α} {\bar{H}}_{β}}

Dies ist die Stromrichtung der

β

- Komponente der Impulsdichte in

α

- Richtung. Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert!

t r (\bar{\bar{T}}) = T_{α α} = w

Energiedichte Außerdem ist T symmetrisch:

T_{α β} = T_{β α}

Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung

\frac{\partial}{\partial t} g_{β} + \frac{\partial}{\partial x_{α}} T_{α β} = - f_{β}

beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.

Bemerkung: Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen!

Impulsbilanz

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