Eichinvarianz
Der Artikel Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
Die Felder
werden durch die Potenziale
dargestellt.:
Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation
ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.
Also:
Mit
mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein! Aber nicht nur
sondern auch
sind physikalisch relevant. So muss auch
erfüllt sein.
Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch
sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:
Auch die Umkehrung gilt:
Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden
Ziel: Entkopplung der DGLs für
- Lorentz- Eichung:
Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1)
Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu
Für A: 2)
Was mit der Lorentz- Eichung
wird zu
Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit
zusammengefasst werden:
Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale (entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:
als Lichtgeschwindigkeit
Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum!
Coulomb- Eichung
(sogenannte Strahlungseichung):
Vergleiche Kapitel 2.3 (Magnetostatik): Für
(Poissongleichung der Magnetostatik)
Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :
Allgemein kann man
in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:
und ein quellenfreies Transversalfeld
zerlegen.
Tatsächlich gilt:
Da
quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:
Also:
ergibt die longitudinalen Felder und
die transversalen Felder.
Merke: Felder, die Rotation eines Vektorfeldes sind (Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder (als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal! (Rotation verschwindet).
Zerlegung der Stromdichte:
Mit
Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:
Also:
Da beide Felder aber für r→ 0 verschwinden folgt:
Also:
Also: Die Feldgleichungen
erhalten dann die Form:
In der Coulomb- Eichung! Also.
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.
Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen!
Sie liefert eine Poissongleichung für
und eine Wellengleichung für