Eichinvarianz

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Die Felder

E¯,B¯

werden durch die Potenziale

Φ(r¯,t),A¯(r¯,t)

dargestellt.:

E¯=Φ(r¯,t)tA¯(r¯,t)B¯=×A¯(r¯,t)

Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation

Φ(r¯,t)Φ´(r¯,t)A¯(r¯,t)A¯´(r¯,t)

ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.

Also:

E¯=Φ(r¯,t)tA¯(r¯,t)=Φ´(r¯,t)tA¯´(r¯,t)B¯=×A¯(r¯,t)=×A¯´(r¯,t)A¯´(r¯,t)=A¯(r¯,t)+G(r¯,t)Φ(r¯,t)tA¯(r¯,t)=Φ´(r¯,t)t(A¯(r¯,t)+G(r¯,t))(Φ´(r¯,t)Φ(r¯,t)+tG(r¯,t))=0(Φ´(r¯,t)Φ(r¯,t)+tG(r¯,t))=g(t)(runabha¨ngig)

Mit

F(r¯,t):=G(r¯,t)totdt´g(t´)A¯´(r¯,t)=A¯(r¯,t)+F(r¯,t)Φ´(r¯,t)=Φ(r¯,t)tF(r¯,t)

mit eine völlig beliebigen Eichfunktion

F(r¯,t).

Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein! Aber nicht nur

E¯,B¯

sondern auch

Φ(r¯,t),A¯(r¯,t)

sind physikalisch relevant. So muss auch

Fds¯A¯(r¯,t)=Fdf¯B¯(r¯,t)=Φ(r¯,t)

erfüllt sein.

Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch

E¯=Φ(r¯,t)tA¯(r¯,t)B¯=×A¯(r¯,t)

sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:

×E¯=×Φ(r¯,t)t×A¯(r¯,t)=tB¯B¯=(×A¯(r¯,t))=0

Auch die Umkehrung gilt:

B¯=0A¯(r¯,t)×A¯(r¯,t)=B¯×E¯=tB¯=×tA¯(r¯,t)×(E¯+tA¯(r¯,t))=0Φ(r¯,t)E¯+tA¯(r¯,t)=Φ(r¯,t)

Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden

Ziel: Entkopplung der DGLs für

A¯(r¯,t),Φ(r¯,t)
  1. Lorentz- Eichung:
A¯(r¯,t)+ε0μ0tΦ(r¯,t)=0

Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1)

E¯=(Φ(r¯,t)+tA¯(r¯,t))=ρε0ΔΦ(r¯,t)+tA¯(r¯,t)=ρε0

Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu

ΔΦ(r¯,t)ε0μ02t2Φ(r¯,t)=ρε0

Für A: 2)

1μ0×B¯ε0tE¯=j¯×(×A¯(r¯,t))+ε0μ0t(Φ(r¯,t)+tA¯(r¯,t))=μ0j¯×(×A¯(r¯,t))=+(A¯(r¯,t))ΔA¯(r¯,t)ΔA¯(r¯,t)ε0μ02t2A¯(r¯,t)(A¯(r¯,t)+ε0μ0tΦ(r¯,t))=μ0j¯

Was mit der Lorentz- Eichung

A¯(r¯,t)+ε0μ0tΦ(r¯,t)=0

wird zu

ΔA¯(r¯,t)ε0μ02t2A¯(r¯,t)=μ0j¯

Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit

#:=Δ1c22t2

zusammengefasst werden:

#Φ(r¯,t)=ρε0#A¯(r¯,t)=μ0j¯

Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale (entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:

1ε0μ0:=c=2,994108ms

als Lichtgeschwindigkeit

Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum!

Coulomb- Eichung

(sogenannte Strahlungseichung):

A¯(r¯,t)=0

Vergleiche Kapitel 2.3 (Magnetostatik): Für

D¯˙=0×B¯=(A¯)ΔA¯=μ0j¯

(Poissongleichung der Magnetostatik)

Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :

Allgemein kann man

E¯=Φ(r¯,t)tA¯(r¯,t)

in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:

E¯l:=Φ(r¯,t)

und ein quellenfreies Transversalfeld

E¯t=tA¯(r¯,t)

zerlegen.

Tatsächlich gilt:

×E¯l:=×(Φ(r¯,t))=0
E¯t=tA¯(r¯,t)=0

Da

B¯

quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:

B¯:=(×A¯)=0

Also:

Φ(r¯,t)

ergibt die longitudinalen Felder und

A¯(r¯,t)

die transversalen Felder.

Merke: Felder, die Rotation eines Vektorfeldes sind (Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder (als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal! (Rotation verschwindet).

Zerlegung der Stromdichte:

j¯=j¯l+j¯t mit ×j¯l=0
j¯t=0

Mit

tρ+j¯l+j¯t=0ρ=ε0E¯lj¯t=0(j¯l+ε0tE¯l)=0

Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:

×(j¯l+ε0tE¯l)=0

Also:

(j¯l+ε0tE¯l)=const

Da beide Felder aber für r→ 0 verschwinden folgt:

(j¯l+ε0tE¯l)=0

Also:

j¯l=ε0Φt

Also: Die Feldgleichungen

ΔΦ+tA¯=ρε0A¯=0ΔΦ=ρε0 und ΔA¯(r¯,t)ε0μ02t2A¯(r¯,t)(A¯(r¯,t)+ε0μ0tΦ(r¯,t))=μ0j¯A¯(r¯,t)=0ε0tΦ(r¯,t)=j¯l

erhalten dann die Form:

ΔΦ=ρε0 und #A¯(r¯,t)=μ0j¯t

In der Coulomb- Eichung! Also.

ΔΦ=ρε0
longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik
#A¯(r¯,t)=μ0j¯t

als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.

Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen!

Sie liefert eine Poissongleichung für

Φ

und eine Wellengleichung für

A¯(r¯,t).