Retardierte Potenziale

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Retardierte Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Aufgabe Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:

$\begin{array}{rl}& \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

zu vorgegebenen erzeugenden Quellen

$\rho (\overline{r},t),\overline{j}(\overline{r},t)$

und Randbedingungen

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)\to 0f\ddot{u}r\overline{r}\to \mathrm{\infty }$

Methode: Greensche Funktion verwenden:

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})$

In der Elektrodynamik:

$\#u(\overline{r},t)=-f(\overline{r},t)$ mit $\begin{array}{rl}& u(\overline{r},t):=\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)\\ & f(\overline{r},t)=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

Fourier- Trafo:

$\begin{array}{rl}& {\widehat{\#}}^{-1}:=-\hat{G}\\ & \Rightarrow \hat{u}(\overline{k},\omega )=\hat{G}\hat{f}(\overline{k},\omega )\\ \end{array}$

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

$u(\overline{r},t)=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})$ mit $\#G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=-\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\delta (t-t\stackrel{´}{})$

Vergleiche: Elektrostatik:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho \left(\overline{r}\right)$

Fourier- Trafo:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{-1}:=-\hat{G}\\ & \Rightarrow \hat{\mathrm{\Phi }}\left(\overline{k}\right)=\hat{G}\hat{\rho }\\ & \hat{G}=\frac{1}{{\epsilon }_0{k}^2}\\ \end{array}$

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

$\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$ mit $\begin{array}{rl}& G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \mathrm{\Delta }G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Kausalitätsbedingung:

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=0$

für t<t´

Somit kann

$u(\overline{r},t)$

nur von

$f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})$

mit t´ < t beeinflusst werden

Fourier- Transformation:

$\begin{array}{rl}& f(\overline{r},t)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{f}(\overline{q},\omega )e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & \hat{f}(\overline{q},\omega )=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dtf(\overline{r},t)e^{-i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ \end{array}$

Ebenso:

$\begin{array}{rl}& u(\overline{r},t)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{u}(\overline{q},\omega )e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow \#u(\overline{r},t)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{u}(\overline{q},\omega )\#e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & \#e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}=-(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ \end{array}$

Aber es gilt:

$\begin{array}{rl}& \#u(\overline{r},t)=-\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{f}(\overline{q},\omega )e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow (q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})\hat{u}(\overline{q},\omega )=\hat{f}(\overline{q},\omega )\\ & \Rightarrow \hat{u}(\overline{q},\omega )=\frac{\hat{f}(\overline{q},\omega )}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}\\ & \Rightarrow \hat{G}=\frac{1}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}\\ \end{array}$

Rücktransformation:

$\begin{array}{rl}& u(\overline{r},t)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^4}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \frac{e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})e^{-i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & u(\overline{r},t)=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}\left\{\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^4}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \frac{e^{i\overline{q}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-i\omega (t-t\stackrel{´}{})}}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}\right\}f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})\\ & \Rightarrow \frac{1}{{\left(2\pi \right)}^4}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \frac{e^{i\overline{q}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-i\omega (t-t\stackrel{´}{})}}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}=G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.

Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration

für

$\omega =\pm cq$

gibt es Polstellen. Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:

Der obere Integrationsweg wird durch

$\tau <0$

charakterisiert, der untere Integrationsweg durch

$\tau >0$.

Dabei:

$\tau =t-t\stackrel{´}{}$

Das Integral über den Halbkreis:

Oberer Halbkreis:

$\tau <0$

$\begin{array}{rl}& \omega =R\cdot e^{i\varphi }0\le \varphi \le \pi \\ & d\omega =R\cdot e^{i\varphi }id\varphi \\ & \left|e^{-i\omega \tau }\right|=e^{R\sin \varphi \tau }\\ & \sin \varphi >0\\ & \tau <0\\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ R\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}{e}^{R\sin \varphi \tau }=0\\ \end{array}$

Unterer Halbkreis:

$\tau >0$

$\begin{array}{rl}& \omega =R\cdot e^{i\varphi }\pi \le \varphi \le 2\pi \\ & d\omega =R\cdot e^{i\varphi }id\varphi \\ & \left|e^{-i\omega \tau }\right|=e^{R\sin \varphi \tau }\\ & \sin \varphi <0\\ & \tau >0\\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ R\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}{e}^{R\sin \varphi \tau }=0\\ \end{array}$

Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:

$\mathrm{\Gamma }(\overline{q},\tau ):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \frac{e^{-i\omega \tau }}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}=\underset{C}{\oint }d\omega \frac{e^{-i\omega \tau }}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}=2\pi i\sum _{Pole}^{}\mathrm{\Re }s\frac{e^{-i\omega \tau }}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}$

(Residuensatz)

Für

$\tau <0$

liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \mathrm{\Gamma }(\overline{q},\tau )=0\\ & \Rightarrow G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=0:=G(\overline{s},\tau )=0\\ \end{array}$

für t<t´

Dies ist die Kausalitätsbedingung.

Für

$\tau >0$

$\mathrm{\Gamma }(\overline{q},\tau )=-2\pi i\sum _{\omega =\pm cq}^{}\mathrm{\Re }s\frac{e^{-i\omega \tau }}{\frac{1}{c^2}(\omega -cq)(\omega +cq)}$

Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:

$\underset{C}{\oint }dzf(z)=2\pi i\sum _{Pole}^{}\mathrm{\Re }sf(z)$,

falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen!

$\mathrm{\Gamma }(\overline{q},\tau )=2\pi i{c}^2(\frac{e^{-icq\tau }}{2cq}+\frac{e^{icq\tau }}{-2cq})$

$G(\overline{s},\tau )=\frac{c}{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q{e}^{i\overline{q}\overline{s}}\left(\frac{e^{-icq\tau }-e^{icq\tau }}{-2iq}\right)$

Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:

$\begin{array}{rl}& d^{3}q=q^{2}dq\sin \vartheta d\vartheta d\varphi \\ & \overline{q}\overline{s}=qs\cos \vartheta \\ & G(\overline{s},\tau )=\frac{c}{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dqq\left(\frac{e^{-icq\tau }-e^{icq\tau }}{-2i}\right)\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d\cos \vartheta e^{iqs\cos \vartheta }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \\ & \underset{-1}{\overset{1}{\int }}d\cos \vartheta e^{iqs\cos \vartheta }=\frac{e^{iqs}-e^{-iqs}}{iqs}\\ & \xi :=cq\\ & \Rightarrow G(\overline{s},\tau )=\frac{c}{2{\left(2\pi \right)}^{2}s}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\xi \{e^{i(\tau -\frac{s}{c})\xi }+e^{-i(\tau -\frac{s}{c})\xi }-e^{i(\tau +\frac{s}{c})\xi }-e^{-i(\tau +\frac{s}{c})\xi }\}\\ & \Rightarrow G(\overline{s},\tau )=\frac{c}{4\pi s}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\xi \{\delta (\tau -\frac{s}{c})-\delta (\tau +\frac{s}{c})\}\\ & \delta (\tau +\frac{s}{c})=0f\ddot{u}r\tau >0\\ \end{array}$

Also lautet das Ergebnis:

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\delta (t-t\stackrel{´}{}-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\\ 0t<t\stackrel{´}{}\\ \end{array}t>t\stackrel{´}{}$

Retardierte Greensfunktion (kausal)

Physikalische Interpretation

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})$

ist das Potenzial

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$,

das von einer punktförmigen Ladungsdichte

$\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\delta (t-t\stackrel{´}{})$

am Punkt

$\overline{r}\stackrel{´}{}$

zur Zeit t´ erzeugt wird.

Die Eigenschaften:

• Kausalität
• Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
• $|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|=c(t-t\stackrel{´}{})$

Nebenbemerkung:

Für den Integrationsweg

Oberer Halbkreis:

$\tau <0$

Unterer Halbkreis:

$\tau >0$

erhält man die avancierte Greensfunktion (=0 für t > t´). Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an

$\overline{r}\stackrel{´}{}$

zur zeit t´ zusammenzieht!

Mit

$G(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}\frac{1}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\delta (t-t\stackrel{´}{}-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}f(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})$

folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen

$\rho (\overline{r},t),\overline{j}(\overline{r},t)$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ \end{array}$

Die retardierten Potenziale

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)$

sind bestimmt durch

$\overline{r}\stackrel{´}{}$

zu retardierten Zeiten

$t\stackrel{´}{}=t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}$.

Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.