Retardierte Potenziale

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Retardierte Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Aufgabe Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:

#Φ(r¯,t)=−ρε0#A¯(r¯,t)=−μ0j¯

zu vorgegebenen erzeugenden Quellen

ρ(r¯,t),j¯(r¯,t)

und Randbedingungen

Φ(r¯,t),A¯(r¯,t)→0fu¨rr¯→∞

Methode: Greensche Funktion verwenden:

G(r¯−r¯ ´,t−t ´)

In der Elektrodynamik:

#u(r¯,t)=−f(r¯,t) mit u(r¯,t):=Φ(r¯,t),A¯(r¯,t)f(r¯,t)=ρε0,μ0j¯

Fourier- Trafo:

#̂−1:=−Ĝ⇒û(k¯,ω)=Ĝf̂(k¯,ω)

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

u(r¯,t)=∫R3d3r ´∫−∞∞dt ´G(r¯−r¯ ´,t−t ´)f(r¯ ´,t ´) mit #G(r¯−r¯ ´,t−t ´)=−δ(r¯−r¯ ´)δ(t−t ´)

Vergleiche: Elektrostatik:

ΔΦ(r¯)=−1ε0ρ(r¯)

Fourier- Trafo:

Δ−1:=−Ĝ⇒Φ̂(k¯)=Ĝρ̂Ĝ=1ε0k2

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

Φ(r¯)=∫R3d3r ´G(r¯−r¯ ´)ρ(r¯ ´) mit G(r¯−r¯ ´)=14πε01|r¯−r¯ ´|ΔG(r¯−r¯ ´)=−1ε0δ(r¯−r¯ ´)

Kausalitätsbedingung:

G(r¯−r¯ ´,t−t ´)=0

für t<t´

Somit kann

u(r¯,t)

nur von

f(r¯ ´,t ´)

mit t´ < t beeinflusst werden

Fourier- Transformation:

f(r¯,t)=1(2π)2∫R3d3q∫−∞∞dωf̂(q¯,ω)ei(q¯r¯−ωt)f̂(q¯,ω)=1(2π)2∫R3d3r∫−∞∞dtf(r¯,t)e−i(q¯r¯−ωt)

Ebenso:

u(r¯,t)=1(2π)2∫R3d3q∫−∞∞dωû(q¯,ω)ei(q¯r¯−ωt)⇒#u(r¯,t)=1(2π)2∫R3d3q∫−∞∞dωû(q¯,ω)#ei(q¯r¯−ωt)#ei(q¯r¯−ωt)=−(q2−ω2c2)ei(q¯r¯−ωt)

Aber es gilt:

#u(r¯,t)=−1(2π)2∫R3d3q∫−∞∞dωf̂(q¯,ω)ei(q¯r¯−ωt)⇒(q2−ω2c2)û(q¯,ω)=f̂(q¯,ω)⇒û(q¯,ω)=f̂(q¯,ω)(q2−ω2c2)⇒Ĝ=1(q2−ω2c2)

Rücktransformation:

u(r¯,t)=1(2π)4∫R3d3q∫−∞∞dωei(q¯r¯−ωt)(q2−ω2c2)∫R3d3r ´∫−∞∞dt ´f(r¯ ´,t ´)e−i(q¯r¯−ωt)u(r¯,t)=∫R3d3r ´∫−∞∞dt ´{1(2π)4∫R3d3q∫−∞∞dωeiq¯(r¯−r¯ ´)−iω(t−t ´)(q2−ω2c2)}f(r¯ ´,t ´)⇒1(2π)4∫R3d3q∫−∞∞dωeiq¯(r¯−r¯ ´)−iω(t−t ´)(q2−ω2c2)=G(r¯−r¯ ´,t−t ´)

Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.

Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration

für

ω=±cq

gibt es Polstellen. Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:


Der obere Integrationsweg wird durch

τ<0

charakterisiert, der untere Integrationsweg durch

τ>0.

Dabei:

τ=t−t ´

Das Integral über den Halbkreis:

Oberer Halbkreis:

τ<0
ω=R⋅eiϕ0≤ϕ≤πdω=R⋅eiϕidϕ|e−iωτ|=eRsin⁡ϕτsin⁡ϕ>0τ<0⇒limR→∞eRsin⁡ϕτ=0

Unterer Halbkreis:

τ>0
ω=R⋅eiϕπ≤ϕ≤2πdω=R⋅eiϕidϕ|e−iωτ|=eRsin⁡ϕτsin⁡ϕ<0τ>0⇒limR→∞eRsin⁡ϕτ=0

Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:

Γ(q¯,τ):=∫−∞∞dωe−iωτ(q2−ω2c2)=∮Cdωe−iωτ(q2−ω2c2)=2πi∑PoleRe⁡se−iωτ(q2−ω2c2)

(Residuensatz)

Für

τ<0

liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C

⇒Γ(q¯,τ)=0⇒G(r¯−r¯ ´,t−t ´)=0:=G(s¯,τ)=0

für t<t´

Dies ist die Kausalitätsbedingung.

Für

τ>0
Γ(q¯,τ)=−2πi∑ω=±cqRe⁡se−iωτ1c2(ω−cq)(ω+cq)

Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:

∮Cdzf(z)=2πi∑PoleRe⁡sf(z),


falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen!

Γ(q¯,τ)=2πic2(e−icqτ2cq+eicqτ−2cq)
G(s¯,τ)=c(2π)3∫R3d3qeiq¯s¯(e−icqτ−eicqτ−2iq)

Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:

d3q=q2dqsin⁡ϑdϑdϕq¯s¯=qscos⁡ϑG(s¯,τ)=c(2π)3∫0∞dqq(e−icqτ−eicqτ−2i)∫−11dcos⁡ϑeiqscos⁡ϑ∫02πdϕ∫−11dcos⁡ϑeiqscos⁡ϑ=eiqs−e−iqsiqsξ:=cq⇒G(s¯,τ)=c2(2π)2s∫0∞dξ{ei(τ−sc)ξ+e−i(τ−sc)ξ−ei(τ+sc)ξ−e−i(τ+sc)ξ}⇒G(s¯,τ)=c4πs∫0∞dξ{δ(τ−sc)−δ(τ+sc)}δ(τ+sc)=0fu¨r τ>0

Also lautet das Ergebnis:

G(r¯−r¯ ´,t−t ´)={14π|r¯−r¯ ´|δ(t−t ´−|r¯−r¯ ´|c)0t<t ´ t>t ´

Retardierte Greensfunktion (kausal)

Physikalische Interpretation

G(r¯−r¯ ´,t−t ´)

ist das Potenzial

Φ(r¯,t),
das von einer punktförmigen Ladungsdichte
ρε0=δ(r¯−r¯ ´)δ(t−t ´)

am Punkt

r¯ ´

zur Zeit t´ erzeugt wird.

Die Eigenschaften:

  • Kausalität
  • Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
  • |r¯−r¯ ´|=c(t−t ´)

Nebenbemerkung:

Für den Integrationsweg

Oberer Halbkreis:

τ<0

Unterer Halbkreis:

τ>0

erhält man die avancierte Greensfunktion (=0 für t > t´). Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an

r¯ ´

zur zeit t´ zusammenzieht!

Mit

G(r¯,t)=∫d3r ´∫−∞tdt ´14π|r¯−r¯ ´|δ(t−t ´−|r¯−r¯ ´|c)f(r¯ ´,t ´)=∫d3r ´14π|r¯−r¯ ´|f(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)

folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen

ρ(r¯,t),j¯(r¯,t)
Φ(r¯,t)=14πε0∫d3r ´ρ(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)|r¯−r¯ ´|A¯(r¯,t)=μ ´04π∫d3r ´j¯(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)|r¯−r¯ ´|

Die retardierten Potenziale

Φ(r¯,t),A¯(r¯,t)

sind bestimmt durch

r¯ ´

zu retardierten Zeiten

t ´=t−|r¯−r¯ ´|c.

Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.

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