Maxwell- Gleichungen in Materie

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Maxwell- Gleichungen in Materie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die vollständigen Potenziale enthalten

• die freie Ladungs- und Stromdichten
• $\rho ,\overline{j}$
• die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
• ${\rho }_p,{\overline{j}}_p,{\overline{j}}_m$

Somit folgt für die vollständigen Potenziale:

$\begin{array}{rl}& t\stackrel{´}{}=t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}\\ & \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}[\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\overline{j}}_P(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\overline{j}}_M(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})]\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}[\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\rho }_P(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})]\\ & \\ \end{array}$

Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung

$\begin{array}{rl}& \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_{\stackrel{´}{}0}[\overline{j}+{\overline{j}}_P+{\overline{j}}_M]\\ & \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{1}{{\epsilon }_0}[\rho +{\rho }_P]\\ & \\ \end{array}$

Für die Felder in Materie folgt:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:

$\begin{array}{rl}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

• Wie im Vakuum

$\begin{array}{rl}& 3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\#\mathrm{\Phi }\\ \end{array}$

In Lorentz Eichung!

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\#\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\epsilon }_0}(\rho +{\rho }_p)=\frac{1}{{\epsilon }_0}(\rho -\mathrm{\nabla }\cdot \overline{P})$

per Definition von

${\rho }_p$.

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 3)\mathrm{\nabla }\cdot ({\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{P}(\overline{r},t))=\rho (\overline{r},t)\\ & ({\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{P}(\overline{r},t)):=\overline{D}(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\rho (\overline{r},t)\\ \end{array}$

Die Dielektrische Verschiebung

4) Letzte Gleichung:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t))=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t))-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r},t)=-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=-\overline{E}-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r},t)=-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}+\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)=-\#\overline{A}(\overline{r},t)+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}\\ & ={\mu }_0(\overline{j}+{\overline{j}}_P+{\overline{j}}_M)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}\\ & {\overline{j}}_P=\dot{\overline{P}}\\ & {\overline{j}}_M=\mathrm{\nabla }\times \overline{M}\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r},t)={\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}(\overline{P}+{\epsilon }_0\overline{E})+{\mu }_0\mathrm{\nabla }\times \overline{M}+{\mu }_0\overline{j}\\ & \Rightarrow 4)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}(\overline{r},t)-\overline{M})=\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\\ & (\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}(\overline{r},t)-\overline{M})=H(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\\ \end{array}$

Mit dem Magnetfeld

$H(\overline{r},t)$,

welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:

Zusammenfassung:

$\begin{array}{rl}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\rho (\overline{r},t)$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\overline{j}$

Dabei beschreibt

$\begin{array}{rl}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\rho (\overline{r},t)$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\overline{j}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

$\begin{array}{rl}& \overline{D}(\overline{r},t)={\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{P}(\overline{r},t)\\ & \overline{H}(\overline{r},t)=\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}(\overline{r},t)-\overline{M}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Im Gauß System (weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):

$\begin{array}{rl}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=4\pi \rho (\overline{r},t)$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\frac{4\pi }{c}\overline{j}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

$\begin{array}{rl}& 5)\overline{D}(\overline{r},t)=\overline{E}(\overline{r},t)+4\pi \overline{P}(\overline{r},t)\\ & 6)\overline{H}(\overline{r},t)=\overline{B}(\overline{r},t)-4\pi \overline{M}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Unsere 6 Feldgleichungen (wenn man so will, also (es kann nicht oft genug gezeigt werden):

$\begin{array}{rl}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=4\pi \rho (\overline{r},t)$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\frac{4\pi }{c}\overline{j}$

$\begin{array}{rl}& 5)\overline{D}(\overline{r},t)=\overline{E}(\overline{r},t)+4\pi \overline{P}(\overline{r},t)\\ & 6)\overline{H}(\overline{r},t)=\overline{B}(\overline{r},t)-4\pi \overline{M}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".

Einfachster Fall:

1. isotrope Materie:

$\overline{E}(\overline{r},t)\left|\right|\overline{P}(\overline{r},t)$

und für paramagnetische Stoffe

$\overline{B}(\overline{r},t)\uparrow \uparrow \overline{M}(\overline{r},t)$

für diamagnetische Stoffe:

$\overline{B}(\overline{r},t)\uparrow \downarrow \overline{M}(\overline{r},t)$,

also ein skalarer Zusammenhang

1. bei nicht zu hohen Feldern:

$\overline{E}\stackrel{~}{}\overline{P}$

$\overline{B}\stackrel{~}{}\overline{M}$

also ein linearer Zusammenhang

1. ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung (keine Phasenkohärenzen):

$\overline{E}(\overline{r},t)\stackrel{~}{}\overline{P}(\overline{r},t)$

$\overline{B}(\overline{r},t)\stackrel{~}{}\overline{M}(\overline{r},t)$

neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang!

Dann kann man schreiben:

$\overline{P}(\overline{r},t)={\epsilon }_0{\chi }_e\overline{E}(\overline{r},t)$

$\overline{M}(\overline{r},t)={\chi }_M\overline{H}(\overline{r},t)$

Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität

${\chi }_e$

und der magnetischen Suszeptibilität

${\chi }_M$

(Materialkonstanten). Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien (z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.

$\overline{D}(\overline{r},t)={\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{P}={\epsilon }_0(1+{\chi }_e)\overline{E}(\overline{r},t)={\epsilon }_0\epsilon \overline{E}(\overline{r},t)$ mit $\epsilon =(1+{\chi }_e)$,

der relativen Dielektrizitätskonstante (permittivity)

$\overline{B}={\mu }_0(\overline{H}+\overline{M})={\mu }_0(1+{\chi }_M)\overline{H}(\overline{r},t)={\mu }_0\mu \overline{H}$ mit $(1+{\chi }_M)=\mu$,

der relativen Permeabilität

$\Rightarrow \overline{M}={\chi }_M\overline{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\frac{{\chi }_M}{\mu }\overline{B}=\frac{1}{{\mu }_0}\frac{{\chi }_M}{(1+{\chi }_M)}\overline{B}$

Man sagt: Ein Stoff ist paramagnetisch für

$\frac{{\chi }_M}{(1+{\chi }_M)}>0$

diamagnetisch für

$\frac{{\chi }_M}{(1+{\chi }_M)}<0$

paramagnetisch:

${\chi }_M>0\Rightarrow \mu >1$ diamagnetisch $0>{\chi }_M>-1\Rightarrow 0<\mu <1$

Bemerkungen

$\overline{E}(\overline{r},t)=0\Rightarrow \overline{P}=0$

beschreibt kein Ferroelektrikum

$\overline{B}=0\Rightarrow \overline{M}=0$

kein Ferromagnet

Es gilt stets

${\chi }_e>0$

(Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

${\chi }_M\begin{array}{c}>\\ <\\ \end{array}0$

Para- ODER Diamagnet

Ein Term

$\stackrel{~}{}\overline{B}$ in $\overline{P}$ oder $\stackrel{~}{}\overline{E}$ in $\overline{M}$

kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens!

$\overline{E}$

ist polarer Vektor,

$\overline{B}$

ist axialer Vektor!

${\rho }_P(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\cdot \overline{P}(\overline{r},t)$

ist ein Skalar

${\overline{j}}_M=rot\overline{M}$

ist ein polarer Vektor.

Abweichungen

1)Für anisotrope Kristalle :

$\overline{P}(\overline{r},t)={\epsilon }_0{\overline{\overline{\chi }}}_e\overline{E}$

drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor

${\overline{\overline{\chi }}}_e$.

2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:

$\overline{P}(\overline{r},t)={\epsilon }_0({{\overline{\overline{\chi }}}_e}^{(1)}\overline{E}+{{\overline{\overline{\chi }}}_e}^{(2)}{\overline{E}}^2+{{\overline{\overline{\chi }}}_e}^{(3)}{\overline{E}}^3+...)$

Anwendung: optische Nichtlinearität, Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:

Für hochfrequente Felder folgt:

$\overline{P}(\overline{r},t)={\epsilon }_0\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}dt\stackrel{´}{}{\chi }_e(\overline{r},\overline{r}\stackrel{´}{},t,t\stackrel{´}{})\overline{E}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})$

(räumliche bzw. zeitliche Dispersion):

$\hat{\overline{P}}(\overline{k},\omega )={\epsilon }_0{\hat{\chi }}_e(\overline{k},\omega )\hat{\overline{E}}(\overline{k},\omega )$