Maxwell- Gleichungen in Materie

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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Maxwell- Gleichungen in Materie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Die vollständigen Potenziale enthalten

  • die freie Ladungs- und Stromdichten
  • ρ,j¯
  • die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
  • ρp,j¯p,j¯m

Somit folgt für die vollständigen Potenziale:

t ´=t−|r¯−r¯ ´|cA¯(r¯,t)=μ ´04π∫d3r ´1|r¯−r¯ ´|[j¯(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)+j¯P(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)+j¯M(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)]Φ(r¯,t)=14πε0∫d3r ´1|r¯−r¯ ´|[ρ(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)+ρP(r¯ ´,t−|r¯−r¯ ´|c)]

Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung

#A¯(r¯,t)=−μ ´0[j¯+j¯P+j¯M]#Φ(r¯,t)=−1ε0[ρ+ρP]

Für die Felder in Materie folgt:

E¯=−∇Φ(r¯,t)−∂∂tA¯(r¯,t)B¯=∇×A¯(r¯,t)

Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:

1)∇×E¯=−∂∂t∇×A¯(r¯,t)=−∂∂tB¯2)∇⋅B¯=0
  • Wie im Vakuum
3)∇⋅E¯=−∂∂t∇⋅A¯(r¯,t)−∇⋅∇Φ∇⋅A¯(r¯,t)=−1c2∂∂tΦ⇒∇⋅E¯=−∂∂t∇⋅A¯(r¯,t)−∇⋅∇Φ=1c2∂2∂t2Φ−ΔΦ=−#Φ

In Lorentz Eichung!

∇⋅E¯=−∂∂t∇⋅A¯(r¯,t)−∇⋅∇Φ=1c2∂2∂t2Φ−ΔΦ=−#Φ=1ε0(ρ+ρp)=1ε0(ρ−∇⋅P¯)

per Definition von

ρp.


⇒3)∇⋅(ε0E¯(r¯,t)+P¯(r¯,t))=ρ(r¯,t)(ε0E¯(r¯,t)+P¯(r¯,t)):=D¯(r¯,t)⇒∇⋅D¯(r¯,t)=ρ(r¯,t)

Die Dielektrische Verschiebung

4) Letzte Gleichung:

∇×B¯(r¯,t)=∇×(∇×A¯(r¯,t))=∇(∇⋅A¯(r¯,t))−ΔA¯(r¯,t)∇⋅A¯(r¯,t)=−1c2∂∂tΦ⇒∇×B¯(r¯,t)=−ΔA¯(r¯,t)−1c2∂∂t∇Φ∇Φ=−E¯−∂∂tA¯(r¯,t)⇒∇×B¯(r¯,t)=−ΔA¯(r¯,t)+1c2∂∂tE¯+1c2∂2∂t2A¯(r¯,t)=−#A¯(r¯,t)+1c2∂∂tE¯=μ0(j¯+j¯P+j¯M)+ε0μ0∂∂tE¯j¯P=P¯˙j¯M=∇×M¯⇒∇×B¯(r¯,t)=μ0∂∂t(P¯+ε0E¯)+μ0∇×M¯+μ0j¯⇒4)⇒∇×(1μ0B¯(r¯,t)−M¯)=j¯+∂∂tD¯(1μ0B¯(r¯,t)−M¯)=H(r¯,t)⇒∇×H(r¯,t)=j¯+∂∂tD¯

Mit dem Magnetfeld

H(r¯,t),
welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:

Zusammenfassung:

1)∇×E¯=−∂∂t∇×A¯(r¯,t)=−∂∂tB¯2)∇⋅B¯=0
3)∇⋅D¯(r¯,t)=ρ(r¯,t)
4)∇×H(r¯,t)=j¯+∂∂tD¯
4)∇×H(r¯,t)−∂∂tD¯=j¯

Dabei beschreibt

1)∇×E¯=−∂∂t∇×A¯(r¯,t)=−∂∂tB¯2)∇⋅B¯=0

die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und

3)∇⋅D¯(r¯,t)=ρ(r¯,t)
4)∇×H(r¯,t)−∂∂tD¯=j¯

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

D¯(r¯,t)=ε0E¯(r¯,t)+P¯(r¯,t)H¯(r¯,t)=1μ0B¯(r¯,t)−M¯(r¯,t)

Im Gauß System (weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):

1)∇×E¯+1c∂∂tB¯=02)∇⋅B¯=0
3)∇⋅D¯(r¯,t)=4πρ(r¯,t)
4)∇×H(r¯,t)−1c∂∂tD¯=4πcj¯

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

5)D¯(r¯,t)=E¯(r¯,t)+4πP¯(r¯,t)6)H¯(r¯,t)=B¯(r¯,t)−4πM¯(r¯,t)

Unsere 6 Feldgleichungen (wenn man so will, also (es kann nicht oft genug gezeigt werden):

1)∇×E¯+1c∂∂tB¯=02)∇⋅B¯=0
3)∇⋅D¯(r¯,t)=4πρ(r¯,t)
4)∇×H(r¯,t)−1c∂∂tD¯=4πcj¯
5)D¯(r¯,t)=E¯(r¯,t)+4πP¯(r¯,t)6)H¯(r¯,t)=B¯(r¯,t)−4πM¯(r¯,t)

sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".

Einfachster Fall:

  1. isotrope Materie:
E¯(r¯,t)||P¯(r¯,t)

und für paramagnetische Stoffe

B¯(r¯,t)↑↑M¯(r¯,t)

für diamagnetische Stoffe:

B¯(r¯,t)↑↓M¯(r¯,t),

also ein skalarer Zusammenhang

  1. bei nicht zu hohen Feldern:
E¯ ~P¯
B¯ ~M¯

also ein linearer Zusammenhang

  1. ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung (keine Phasenkohärenzen):
E¯(r¯,t) ~P¯(r¯,t)
B¯(r¯,t) ~M¯(r¯,t)

neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang!

Dann kann man schreiben:

P¯(r¯,t)=ε0χeE¯(r¯,t)
M¯(r¯,t)=χMH¯(r¯,t)

Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität

χe

und der magnetischen Suszeptibilität

χM

(Materialkonstanten). Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien (z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.

D¯(r¯,t)=ε0E¯(r¯,t)+P¯=ε0(1+χe)E¯(r¯,t)=ε0εE¯(r¯,t) mit ε=(1+χe),
der relativen Dielektrizitätskonstante (permittivity)
B¯=μ0(H¯+M¯)=μ0(1+χM)H¯(r¯,t)=μ0μH¯ mit (1+χM)=μ,
der relativen Permeabilität
⇒M¯=χMH¯=1μ0χMμB¯=1μ0χM(1+χM)B¯

Man sagt: Ein Stoff ist paramagnetisch für

χM(1+χM)>0

diamagnetisch für

χM(1+χM)<0

paramagnetisch:

χM>0⇒μ>1 diamagnetisch 0>χM>−1⇒0<μ<1

Bemerkungen

E¯(r¯,t)=0⇒P¯=0

beschreibt kein Ferroelektrikum

B¯=0⇒M¯=0

kein Ferromagnet

Es gilt stets

χe>0

(Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

χM><0

Para- ODER Diamagnet

Ein Term

 ~B¯ in P¯ oder  ~E¯ in M¯

kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens!

E¯

ist polarer Vektor,

B¯

ist axialer Vektor!

ρP(r¯,t)=−∇⋅P¯(r¯,t)

ist ein Skalar

j¯M=rotM¯

ist ein polarer Vektor.

Abweichungen

1)Für anisotrope Kristalle :

P¯(r¯,t)=ε0χ¯¯eE¯

drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor

χ¯¯e.


2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:

P¯(r¯,t)=ε0(χ¯¯e(1)E¯+χ¯¯e(2)E¯2+χ¯¯e(3)E¯3+...)

Anwendung: optische Nichtlinearität, Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:


Für hochfrequente Felder folgt:

P¯(r¯,t)=ε0∫d3r ´dt ´χe(r¯,r¯ ´,t,t ´)E¯(r¯ ´,t ´)

(räumliche bzw. zeitliche Dispersion):

P¯̂(k¯,ω)=ε0χ̂e(k¯,ω)E¯̂(k¯,ω)
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