Beispiel des Großkanonischen Ensenbles

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Kein GFDL

Der Artikel Beispiel des Großkanonischen Ensenbles basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Illustration am Anhand von $\begin{array}{rl}& G_{\nu }=\{H,N\}\\ & h_{\alpha }=\left\{V\right\}\\ \end{array}$ definiert das großkanonische Ensemble man kannt durch die Wahl sofort R, $S=S_{gk}$

$\begin{array}{rl}& R=\frac{1}{Z}{e}^{-\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{G}_{\nu }}\\ & R_{gk}=\frac{1}{Z_{gk}}{e}^{-{\lambda }_{1}H-{\lambda }_{2}N}\end{array}$

oftmals ${\lambda }_1=\beta ,{\lambda }_2=-\beta \mu$

$({\lambda }_1,{\lambda }_2)\to (\beta ,\mu )$

wir zeigen: $\beta =\frac{1}{kT}$ Temperatur taucht auf muss gezeigt werden $\mu$ = Chemisches Potential ist die Energie die man braucht um 1 Teilchen hinzu zufügen

$R_{gk}=\frac{1}{Z}{e}^{-\beta (H-\mu N)}$

Entropie

braucht man um Zustandsgleichung festzulegen

$S=S(⟨G_{\nu }⟩,h_{\alpha })$

$\Rightarrow S_{gk}=S_{gk}(⟨H⟩,⟨N⟩,V)$

$S_{gk}(E,\bar{N},V)=k\beta E-k\beta \mu \bar{N}+k\ln Z_{gk}\left(\beta \mu V\right)$

Formel für Entropie siehe anfang der VL

Lagrangeparameter /Zustandsgleichung

Beziehungen der partiellen Ableitungen aus Gibbsgleichung

$k{\lambda }_{\nu }={\partial }_{⟨G_{\nu }⟩}S;k\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{M}_{\nu ,\alpha }={\partial }_{h_{\alpha }}S$ für $\nu =1$

$k{\lambda }_{\nu }={\partial }_{⟨G_{\nu }⟩}S\Rightarrow k\beta ={\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,\overline{N}};k\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{M}_{\nu ,\alpha }={\partial }_{h_{\alpha }}S\Rightarrow {\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)}_{E,\overline{N}}=-k\beta \mathrm{Tr}\left(\frac{\partial H}{\partial V}R\right)$

$\begin{array}{rl}& k{\lambda }_{\nu }={\partial }_{⟨G_{\nu }⟩}S\Rightarrow k\beta ={\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,\overline{N}\left((\text{V},\text{N sind nicht anzufassen bei der partiellen Ableitung})\right)}\\ & k\sum _{\nu }{\lambda }_{\nu }{M}_{\nu ,\alpha }={\partial }_{h_{\alpha }}S\Rightarrow {\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)}_{E,\overline{N}}=-k\beta \mathrm{Tr}\left(\frac{\partial H}{\partial V}R\right)({\partial }_{V}N\to 0)\\ \end{array}$

für $\nu =2$

$\begin{array}{rl}& -k\beta \mu ={\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,\overline{N}}\\ & k{\partial }_V\ln Z_{gk}=k\beta p\Rightarrow p=\frac{1}{\beta }{\partial }_V\ln Z_{gk}\\ \end{array}$

Man hat also Gleichungen für die Lagrangeparameter und die Zustandsgleichung für den Druck gewonnen. Lagrangeparameter noch nicht physikalisch bestimmt!

vorweg genommen

$\begin{array}{rl}& T^{-1}={\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,\overline{N}}\\ & \mu =-T{\left(\frac{\partial S}{\partial \overline{N}}\right)}_{V,E}\\ & p=kT{\partial }_V(\ln Z_{gk})\end{array}$

Temperatur und chemisches Potential

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik

Es existiert eine skalare Größe T (Temperatur) zur Charaktersierung eines Systems; bei Kontakt (und langem Warten) sind die Temperaturen zweier Systeme gleich. anlog Potential, Druck