Fermis Goldene Regel

Sei $H\left(t\right)=H_0+V\left(t\right)$ und es gelte die Schödingergleichung mit $\hslash =1$

$\frac{d}{dt}|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=-\text{i}\hat{H}\left(t\right)|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩$

Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich $H_0$mit $U_0^{+}=U_0^{+}\left(t\right)=e^{i{H}_{0}t}$also

${|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I=U_0^{+}|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=e^{\text{i}{H}_{0}t}|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩$

so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)$\frac{d}{dt}{|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I=\text{i}{H}_0{|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I+U_0^{+}\frac{d}{dt}|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩$. Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}{|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I=\text{i}{H}_0{|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I-\text{i}{U}_0^{+}(H_0+V\left(t\right))|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩\\ & =\text{i}(H_0-U_0^{+}(H_0+V\left(t\right))U_0){|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I\end{array}$

Mit $|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=U_0{U}_0^{+}|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=U_0\left(t\right){|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I=e^{-\text{i}{H}_{0}t}{|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I$. Unter Verwendung von $[H_0,U_0\left(t\right)]=0$ erhält man

$\frac{d}{dt}{|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I=-\text{i}\underset{:=V_I\left(t\right)}{\underbrace{\left(U_0^{+}V\left(t\right)U_0\right)}}{|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I.$

Nun kann man mit der Abkürzung $V_I\left(t\right):=U_0^{+}V\left(t\right)U_0$ und $|{\mathrm{\Psi }}_0⟩={|\mathrm{\Psi }(t=0)⟩}_I$ die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild hinschreiben:

$\begin{array}{rl}& {|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I=|{\mathrm{\Psi }}_0⟩-\text{i}\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }{V}_I\left(t^{\prime }\right){|\mathrm{\Psi }\left(t^{\prime }\right)⟩}_I\\ & =|{\mathrm{\Psi }}_0⟩-\text{i}\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }{V}_I\left(t^{\prime }\right)|{\mathrm{\Psi }}_0⟩+O{\left(V_I\right)}^2\end{array}$

Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung $H_0|n⟩={\epsilon }_n|n⟩$als bekannt an so erhält man mit der Festlegung $|{\mathrm{\Psi }}_0⟩=|i⟩$

$\begin{array}{rl}& {|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I=|i⟩-\text{i}\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }{V}_I\left(t^{\prime }\right)|i⟩+O{\left(V_I\right)}^2\\ & {⟨f|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I={\delta }_{i,f}-\text{i}\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }⟨f|V_I\left(t^{\prime }\right)|i⟩+O{\left(V_I\right)}^2\end{array}$

Für $i\ne f$folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von $O{\left(V_I\right)}^2$)

$P_{i\to f}\left(t\right):={\left|⟨f|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩\right|}^2=\underset{1}{\underbrace{{\left|e^{\text{i}({\epsilon }_f-{\epsilon }_f)t}\right|}^2}}{\left|{⟨f|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}_I\right|}^2={\left|\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }⟨f|V_I\left(t^{\prime }\right)|i⟩\right|}^2$ (das –i verschwindet durch den Betrag).

Für $V\left(t\right)=V\theta \left(t\right)$folgt nun,

$⟨f|V_I\left(t\right)|i⟩=⟨f|U_0^{+}V{U}_0|i⟩=e^{i({\epsilon }_f-{\epsilon }_i)t}⟨f|V|i⟩$

$P_{i\to f}\left(t\right):={\left|⟨f|V|i⟩\right|}^2{\left|\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }{e}^{i({\epsilon }_f-{\epsilon }_i)t^{\prime }}\right|}^2$

Unter Verwendung der Definition der [1] ergibt das Integral

${\left|\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }{e}^{\text{i}({\epsilon }_f-{\epsilon }_i)t^{\prime }}\right|}^2={\left|\frac{e^{\text{i}({\epsilon }_f-{\epsilon }_i)t}-1}{\text{i}({\epsilon }_f-{\epsilon }_i)}\right|}^2=\frac{{\sin }^2\left(\frac{{\epsilon }_f-{\epsilon }_i}{2}t\right)}{{\left(\frac{{\epsilon }_f-{\epsilon }_i}{2}\right)}^2}=t^2{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{{\epsilon }_f-{\epsilon }_i}{2}t\right)$

Um die Rate, die durch

${\mathrm{\Gamma }}_{i\to f}:=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{t}{P}_{i\to f}\left(t\right)={\left|⟨f|V|i⟩\right|}^2\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }t{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{{\epsilon }_f-{\epsilon }_i}{2}t\right)$

definiert ist zu berechnen kann man den "Trick", umschreiben der Sinc-Funktion als [2] verwenden.

${\mathrm{\Gamma }}_{i\to f}={\left|⟨f|V|i⟩\right|}^2\pi \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{t}{\pi }{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{{\epsilon }_f-{\epsilon }_i}{2}t\right)=2\pi {\left|⟨f|V|i⟩\right|}^2\delta ({\epsilon }_f-{\epsilon }_i)$ Es macht jedoch Sinn ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten da in der Realität $t<\mathrm{\infty }$ gilt und man daher keine exakte Deltafunktion erhält. Zu bemerken ist noch, dass$\rho \left(E_f\right)\approx \rho \left(E_i\right)$ ${\mathrm{\Gamma }}_{i\to f}=\frac{2\pi }{\left(\hslash \right)}\rho \left(E_f\right){\left|⟨f|V|i⟩\right|}^2$

Dabei wurde bei ... ${\delta }_{ϵ}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin \left(\frac{x}{ϵ}\right)$

mit $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\mathrm{sinc}\left(x\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{\mathrm{sinc}}^2\left(x\right)=\pi$ folgt dass 

$\begin{array}{rl}& \underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }f\left(\frac{x}{\epsilon }\right)=\delta \left(x\right)\\ & \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }tf\left(tx\right)=\delta \left(x\right)\\ & \underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }t\frac{1}{\pi }{\mathrm{sinc}}^2\left(tx\right)=\delta \left(x\right)\end{array}$ Mit $x=\frac{{\epsilon }_f-{\epsilon }_i}{2}$und $\delta \left(kx\right)=\frac{1}{k}\delta \left(x\right)$ folgt

verwendet