Fermis Goldene Regel

Sei $H (t) = H_{0} + V (t)$ und es gelte die Schödingergleichung mit $ℏ = 1$

\frac{d}{d t} | Ψ (t) ⟩ = - i \hat{H} (t) | Ψ (t) ⟩

Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich $H_{0}$ mit $U_{0}^{+} = U_{0}^{+} (t) = e^{i H_{0} t}$ also

{| Ψ (t) ⟩}_{I} = U_{0}^{+} | Ψ (t) ⟩ = e^{i H_{0} t} | Ψ (t) ⟩

,

so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)

\frac{d}{d t} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = i H_{0} {| Ψ (t) ⟩}_{I} + U_{0}^{+} \frac{d}{d t} | Ψ (t) ⟩ .

Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man

\begin{matrix} \frac{d}{d t} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = i H_{0} {| Ψ (t) ⟩}_{I} - i U_{0}^{+} (H_{0} + V (t)) | Ψ (t) ⟩ \\ = i (H_{0} - U_{0}^{+} (H_{0} + V (t)) U_{0}) {| Ψ (t) ⟩}_{I} \end{matrix}

mit

| Ψ (t) ⟩ = U_{0} U_{0}^{+} | Ψ (t) ⟩ = U_{0} (t) {| Ψ (t) ⟩}_{I} = e^{- i H_{0} t} {| Ψ (t) ⟩}_{I}

.

Unter Verwendung von $[H_{0}, U_{0} (t)] = 0$ erhält man

\frac{d}{d t} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = - i \underset{:= V_{I} (t)}{\underset{⏟}{(U_{0}^{+} V (t) U_{0})}} {| Ψ (t) ⟩}_{I} .

Nun kann man mit der Abkürzung $V_{I} (t) := U_{0}^{+} V (t) U_{0}$ und $| Ψ_{0} ⟩ = {| Ψ (t = 0) ⟩}_{I}$ die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild hinschreiben:

\begin{matrix} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = | Ψ_{0} ⟩ - i \int_{0}^{t} d t^{'} V_{I} (t^{'}) {| Ψ (t^{'}) ⟩}_{I} \\ = | Ψ_{0} ⟩ - i \int_{0}^{t} d t^{'} V_{I} (t^{'}) | Ψ_{0} ⟩ + O {(V_{I})}^{2} \end{matrix}

Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung $H_{0} | n ⟩ = E_{n} | n ⟩$ als bekannt an so erhält man mit der Festlegung $| Ψ_{0} ⟩ = | i ⟩$

\begin{matrix} {| Ψ (t) ⟩}_{I} = | i ⟩ - i \int_{0}^{t} d t^{'} V_{I} (t^{'}) | i ⟩ + O {(V_{I})}^{2} \\ {⟨ f | Ψ (t) ⟩}_{I} = δ_{i, f} - i \int_{0}^{t} d t^{'} ⟨ f | V_{I} (t^{'}) | i ⟩ + O {(V_{I})}^{2} \end{matrix}

Für $i \neq f$ folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von $O {(V_{I})}^{2}$ )

P_{i \to f} (t) := {| ⟨ f | Ψ (t) ⟩ |}^{2} = \underset{1}{\underset{⏟}{{| e^{i (E_{f} - E_{f}) t} |}^{2}}} {| {⟨ f | Ψ (t) ⟩}_{I} |}^{2} = {| \int_{0}^{t} d t^{'} ⟨ f | V_{I} (t^{'}) | i ⟩ |}^{2}

(das –i verschwindet durch den Betrag).

Für $V (t) = V θ (t)$ folgt nun,

⟨ f | V_{I} (t) | i ⟩ = ⟨ f | U_{0}^{+} V U_{0} | i ⟩ = e^{i (E_{f} - E_{i}) t} ⟨ f | V | i ⟩

P_{i \to f} (t) := {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2} {| \int_{0}^{t} d t^{'} e^{i (E_{f} - E_{i}) t^{'}} |}^{2}

Unter Verwendung der Definition der ergibt das Integral

{| \int_{0}^{t} d t^{'} e^{i (E_{f} - E_{i}) t^{'}} |}^{2} = {| \frac{e^{i (E_{f} - E_{i}) t} - 1}{i (E_{f} - E_{i})} |}^{2} = \frac{\sin^{2} (\frac{E_{f} - E_{i}}{2} t)}{{(\frac{E_{f} - E_{i}}{2})}^{2}} = t^{2} {sinc}^{2} (\frac{E_{f} - E_{i}}{2} t)

Um die Rate, die durch

Γ_{i \to f} := lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} P_{i \to f} (t) = {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2} lim_{t \to \infty} t {sinc}^{2} (\frac{E_{f} - E_{i}}{2} t)

definiert ist, zu berechnen kann man den "Trick", Umschreiben der Sinc-Funktion als , verwenden.

Γ_{i \to f} = {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2} π lim_{t \to \infty} \frac{t}{π} {sinc}^{2} (\frac{E_{f} - E_{i}}{2} t) = 2 π {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2} δ (E_{f} - E_{i})

Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte $ρ (E)$ .

Γ_{i \to f} = \frac{2 π}{(ℏ)} ρ (E_{f}) {| ⟨ f | V | i ⟩ |}^{2}

Zu bemerken ist noch, dass

$ρ (E_{f}) \approx ρ (E_{i})$ .
die http://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Zeit-Unschärferelation für $t < \infty$ folgt.

Dabei wurde bei ...

δ_{ϵ} (x) = \frac{1}{π x} \sin (\frac{x}{ϵ})

mit  $\int_{- \infty}^{\infty} d x sinc (x) = \int_{- \infty}^{\infty} d x {sinc}^{2} (x) = π$  folgt dass

\begin{matrix} lim_{E \to 0} \frac{1}{E} f (\frac{x}{E}) = δ (x) \\ lim_{t \to \infty} t f (t x) = δ (x) \\ lim_{t \to \infty} t \frac{1}{π} {sinc}^{2} (t x) = δ (x) \end{matrix}

Mit $x = \frac{E_{f} - E_{i}}{2}$ und $δ (k x) = \frac{1}{k} δ (x)$ folgt

verwendet

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