Fermis Goldene Regel

Sei $H\left(t\right)={{H}_{0}}+V\left(t\right)$ und es gelte die Schödingergleichung mit $\hbar =1$

${\frac {d}{dt}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =-{\text{i}}{\hat {H}}\left(t\right)\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle$

Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich ${{H}_{0}}$mit $U_{0}^{+}=U_{0}^{+}\left(t\right)={{e}^{i{{H}_{0}}t}}$ also

${{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}=U_{0}^{+}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle ={{e}^{{\text{i}}{{H}_{0}}t}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle$,

so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)

${\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}={\text{i}}{{H}_{0}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}+U_{0}^{+}{\frac {d}{dt}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle .$

Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}={\text{i}}{{H}_{0}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}-{\text{i}}U_{0}^{+}\left({{H}_{0}}+V\left(t\right)\right)\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \\&={\text{i}}\left({{H}_{0}}-U_{0}^{+}\left({{H}_{0}}+V\left(t\right)\right){{U}_{0}}\right){{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}\end{aligned}}$

mit $\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle ={{U}_{0}}U_{0}^{+}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle ={{U}_{0}}\left(t\right){{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}={{e}^{-{\text{i}}{{H}_{0}}t}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}$.

Unter Verwendung von $\left[{{H}_{0}},{{U}_{0}}\left(t\right)\right]=0$ erhält man

${\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}=-{\text{i}}\underbrace {\left(U_{0}^{+}V\left(t\right){{U}_{0}}\right)} _{:={{V}_{I}}\left(t\right)}{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}.$

Nun kann man mit der Abkürzung ${{V}_{I}}\left(t\right):=U_{0}^{+}V\left(t\right){{U}_{0}}$ und $\left|{{\Psi }_{0}}\right\rangle ={{\left|\Psi \left(t=0\right)\right\rangle }_{I}}$ die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild hinschreiben:

${\begin{aligned}&{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}=\left|{{\Psi }_{0}}\right\rangle -{\text{i}}\int \limits _{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left(t'\right)}{{\left|\Psi \left(t'\right)\right\rangle }_{I}}\\&=\left|{{\Psi }_{0}}\right\rangle -{\text{i}}\int \limits _{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left(t'\right)}\left|{{\Psi }_{0}}\right\rangle +O{{\left({{V}_{I}}\right)}^{2}}\end{aligned}}$

Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung ${{H}_{0}}\left|n\right\rangle ={{E}_{n}}\left|n\right\rangle$als bekannt an so erhält man mit der Festlegung $\left|{{\Psi }_{0}}\right\rangle =\left|i\right\rangle$

${\begin{aligned}&{{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}=\left|i\right\rangle -{\text{i}}\int \limits _{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left(t'\right)}\left|i\right\rangle +O{{\left({{V}_{I}}\right)}^{2}}\\&{{\left\langle f|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}={{\delta }_{i,f}}-{\text{i}}\int \limits _{0}^{t}{dt'\,\left\langle f\right|{{V}_{I}}\left(t'\right)}\left|i\right\rangle +O{{\left({{V}_{I}}\right)}^{2}}\end{aligned}}$

Für $i\neq f$ folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von $O{{\left({{V}_{I}}\right)}^{2}}$)

${{P}_{i\to f}}\left(t\right):={{\left|\left\langle f|\Psi \left(t\right)\right\rangle \right|}^{2}}=\underbrace {{\left|{{e}^{{\text{i}}\left({{E}_{f}}-{{E}_{f}}\right)t}}\right|}^{2}} _{1}{{\left|{{\left\langle f|\Psi \left(t\right)\right\rangle }_{I}}\right|}^{2}}={{\left|\int \limits _{0}^{t}{dt'\,\left\langle f\right|{{V}_{I}}\left(t'\right)\left|i\right\rangle }\right|}^{2}}$ (das –i verschwindet durch den Betrag).

Für $V\left(t\right)=V\theta \left(t\right)$ folgt nun,

$\,\left\langle f\right|{{V}_{I}}\left(t\right)\left|i\right\rangle =\,\left\langle f\right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left|i\right\rangle =\,{{e}^{i\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)t}}\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle$

${{P}_{i\to f}}\left(t\right):={{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}{{\left|\int \limits _{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)t'}}}\right|}^{2}}$

Unter Verwendung der Definition der [1] ergibt das Integral

${{\left|\int \limits _{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{{\text{i}}\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)t'}}}\right|}^{2}}={{\left|{\frac {{{e}^{{\text{i}}\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)t}}-1}{{\text{i}}\left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)}}\right|}^{2}}={\frac {{{\sin }^{2}}\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}t\right)}{{\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}\right)}^{2}}}={{t}^{2}}{{\operatorname {sinc} }^{2}}\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}t\right)$

Um die Rate, die durch

${{\Gamma }_{i\to f}}:={\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{t}}{{P}_{i\to f}}\left(t\right)={{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}{\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,t{{\operatorname {sinc} }^{2}}\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}t\right)$

definiert ist, zu berechnen kann man den "Trick", Umschreiben der Sinc-Funktion als [2], verwenden.

${{\Gamma }_{i\to f}}={{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}\pi {\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {t}{\pi }}{{\operatorname {sinc} }^{2}}\left({\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}t\right)=2\pi {{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}\delta \left({{E}_{f}}-{{E}_{i}}\right)$

Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte $\rho (E)$.

${{\Gamma }_{i\to f}}={\frac {2\pi }{\left(\hbar \right)}}\rho \left({{E}_{f}}\right){{\left|\left\langle f\right|V\left|i\right\rangle \right|}^{2}}$

Zu bemerken ist noch, dass

• $\rho \left({{E}_{f}}\right)\approx \rho \left({{E}_{i}}\right)$.
• die http://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Zeit-Unschärferelation für $t<\infty$ folgt.

Dabei wurde bei ...

${{\delta }_{\epsilon }}(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)$

mit $\int \limits _{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname {sinc} \left(x\right)}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname {sinc} }^{2}}\left(x\right)}=\pi$ folgt dass 

${\begin{aligned}&{\underset {E\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{E}}f\left({\frac {x}{E}}\right)=\delta \left(x\right)\\&{\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,tf\left(tx\right)=\delta \left(x\right)\\&{\underset {t\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,t{\frac {1}{\pi }}{{\operatorname {sinc} }^{2}}\left(tx\right)=\delta \left(x\right)\end{aligned}}$

Mit $x={\frac {{{E}_{f}}-{{E}_{i}}}{2}}$und $\delta \left(kx\right)={\frac {1}{k}}\delta \left(x\right)$ folgt

verwendet